Étude de la stabilité d'une équation différentielle non conservative du second ordre, à coefficients périodiques

Vorgelegt sei die Gleichung (E) ẍ + p(t) ẋ + q(t) × = 0 mit Koeffizienten, die in jeder Halbperiode konstant sind und beziehungsweise die Werte p 1 und p 2 bzw. q 1 und q 2 haben. Dann läßt sich das folgende wesentliche Ergebnis erzielen: Bei gegebenen festen Werten p 1 , p 2 und q 1 – die notwendige Stabilitätsbedingung p 1 + p 2 ≧ 0 sei erfüllt – ist weder die Menge der Werte q 1 , für die (E) stabil ist, noch die Menge der Werte q 1 , für die (E) instabil ist, beschränkt, und diese Aussage gilt sogar für sehr große Werte p 1 und p 2 . Überraschend ist noch folgende Eigenschaft: Ist (E i ), i = 1, 2, die Gleichung ẍ + p i ẋ + q i x = 0 mit den konstanten Koeffizienten p i , q i , so ist die Stabilität von (E) weitgehend unabhängig von derjenigen von (E i ). Auf diese Weise kann es sein, daß Im Falle p 1 + p 2 = 0 konstruiert man das Stabilitätsdiagramm im (c 1 , c 2 , p 1 )‐Raum, wobei c i = q i ‐ p i 2 , i = 1, 2 ist. (E 1 ) und (E 2 ) stabil und sogar stark stabil sind, (E) aber instabil. (E 1 ) und (E 2 ) instabil sind, (E) aber asymptotisch stabil.