On the Stability of Ordinary Differential Equations under Persistent Random Disturbances

Es werden Stabilitätseigenschaften gewöhnlicher Differentialgleichungen bezüglich ständig wirkender zufälliger Störungen untersucht. Auf Grund einer Äquivalenz zwischen Realisierungslösungen und Lösungen im quadratischen Mittel von stochastischen Differentialgleichungen werden aus Resultaten über Differentialgleichungen in einem Banachraum hinreichende Bedingungen für die Stabilität im quadratischen Mittel abgeleitet. Die Differentialgleichung heißt‐ W‐stabil bezüglich ständig wirkender zufälliger Störungen, falls die Norm der Lösung der gestörten Gleichung in Wahrscheinlichkeit klein bleibt, wenn die Anfangsabweichung und die stochastische Störung im Mittel klein sind. Für die W‐Stabilität werden hinreichende Bedingungen abgeleitet, die die Existenz gewisser Ljapunowscher Funktionen beinhalten. Hieraus folgt die W‐Stabilität bezüglich ständig wirkender zufälliger Störungen für Differentialgleichungen, die exponentiell stabil im Ganzen sind und deren rechte Seite eine stetige beschränkte partielle Ableitung nach x besitzt.