Ein Mittelwertsatz bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die folgende Untersuchung stellt in ihrem wesentlichen Ergebnis eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung dar, und zwar auf Kurven, die im Richtungsfeld einer gewöhnlichen Differentialgleichung liegen (§ 1 und § 2). Neben geometrischen Anwendungen erlaubt dieser Mittelwertsatz die Aufstellung von Restgliedern bei Approximationen einer vorgegebenen Funktion durch Lösungen „iterierter Differentialgleichungen”, d. h. von Differentialgleichungen, die sich als „Produkte” von Differentialgleichungen erster Ordnung darstellen lassen. Bei linearen Differentialausdrücken ergeben sich Reihenentwicklungen mit Restgliedern in Analogie zur Taylor formel und in allgemeineren Fällen. Auch zur näherungsweisen Bestimmung von Eigenwerten kann der Satz herangezogen werden.