Nichtlineare Probleme der Regelungstheorie

Es wurde ein Oberblick uber Problemstellungen und einige neuere Ergebnisse der Theorie nichtlinearer Regelungserscheinungen gegeben. Dabei erwies sich eine Beschrankung auf Verfahren, die auf Systeme beliebig hoher Ordnung anwendbar sind, als zweckmaBig. Eine wesentliche Tatsache, die aus dem Studium der zahlreichen, in den vergangenen etwa funf Jahren erschienenen Arbeiten abgeleitet werden kann, ist das Vordringen exakter Berechnungsmethoden. Es ist gelungen, einerseits fur gewisse Klassen von Regelsystemen, andererseits fur bestimmte Probleme Verfahren zur exakten Untersuchung zu entwickeln. Die Ljapunovsche Theorie zur Bestimmung der Stabilitat der Losungen nichtlinearer Differentialgleichungen wurde von verschiedenen Autoren erweitert und erganzt. A j z e r m a n und G a n t m a c her gelang die Verallgemeinerung von zwei Ljapunovchen Satzen auf Systeme, deren nichtlineare Funktionen nur bereichsweise analytisch zu sein brauchen. Die Lurjeschen Untersuchungen uber Systeme mit nur einer nichtlinearen Funktion wurden von H a h n erganzt durch Angabe der hinreichenden Stabilitatsbedingungen fur Systeme, deren einzige nichtlineare Funktion vom Relaistyp mit Totbereich und Hysterese ist. Die Technik der Stabilitatsbestimmung wurde von Lehn igk durch einen Ansatz fur die Ljapunovsche Funktion bereichert, der wegen der Einfuhrung zusatzlicher Parameter besonders anpassungsfahig ist. Fur Relaissysteme liegt eine weitgehend abgeschlossene Theorie von C y p k i n vor. Sie gilt fur Systeme, die aus einem linearen Teilsystem und einem Relaiselement bestehen. Da am Ausgang des Relaiselementes nur Impulse konstanter Amplitude auftreten konnen, laIjt sich die Reaktion des linearen Teilsystems durch Oberlagerung von Ubergangsfunktionen ermitteln. Die Stabilitat kann durch Untersuchung des komplexen Obertragungsfaktors W@) des linearen Teilsystems bestimmt werden. Das Verhalten von Relaissystemen hangt eng mit dem der Impulssysteme zusammen, wobei das Impulssystem aus dem Relaissystem durch Ersatz des Relaiselementes durch ein Impulselement entsteht. Das Impulselement moduliert ein ankommendes Signal so, daB an seinem Ausgang eine zeitlich iiquidistante Folge von Impulsen entweder konstanter Amplitude bei variabler Dauer, oder konstanter Dauer bei variabler Amplitude auftritt. Auch hierfur 1aBt sich die Reaktion des linearen Teilsystems durch Oberlagern von Obergangsfunktionen berechnen. Es ist moglich, einen Obertragungsoperator W*@) zu definieren, mit dem ganz analog zu den bekannten Untersuchungen linearer Systeme verfahren werden kann. Zu allen wichtigen fur lineare Systeme bekannten Stabilitatskriterien lassen sich dabei vollig analoge Kriterien fur Impulssysteme finden. Ihre Anwendung ist zum Teil sogar leichter als bei linearen Systemen. Zahlreiche Untersuchungen sind dem Problem der Optimierung in nichtlinearen Regelkreisen gewidmet. Nachdem man erkannt hat, daB das Verhalten optimal abgestimmter linearer Regelkreise durch Einfuhren von geeigneten Nichtlinearitaten noch verbessert werden kann, sind zahlreiche Methoden zur Synthese optimaler, nichtlinearer Regelsysteme ausgearbeitet werden. So