Bemerkungen über die Methode von G. Duffing zur Integration von Differentialgleichungen

Bei der Duffingschen Lösungsmethode des Anfangswertproblems einer Diffgl. y ′ ( x ) = f ( x, y ) mit y ( x 1 ) = y 1 ergibt sich für eine Näherung Y von y ( x ) ( x = x 1 + h ) eine Gleichung, in der auch Ableitungen von f auftreten. Diese und ähnliche Bestimmungsgleichungen für Näherungen Y (beliebig hoher Ordnung in h) von y lassen sich auch aus einer Verallgemeinerung der Taylorentwicklung für Funktionen einer Variablen entnehmen. Unter Voraussetzung der Monotonie einer gewissen Ableitung von f im betreffenden Intervall kann man den genauen Wert y ( x 1 + h ) durch solche Näherungen Y in Schranken einschließen. Nach Übertragung der verallgemeinerten Taylorentwicklung auf Funktionen zweier Variablen werden damit zwei Verfahren (2. und 4. Ordnung) zur Lösung partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung hergeleitet.