Intensitätsformel für Hyperfeinstrukturlinien bei n aequivalenten Kernen mit beliebigem Spinmoment—I

Die relativen Intensitäten der kernmagnetischen Hyperfeinstrukturlinien sind bei n aequivalenten, benachbarten Protonen ( I = ½) bekanntlich durch die Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck gegeben. Bei n aequivalenten, benachbarten Kernen mit I > ½ ist eine einfache Berechnungsformel für die relativen Intensitäten nicht bekannt, andrerseits ist die Ermittlung der sehr großen Zahlen aus den Anordnungsmöglichkeiten der Spins sehr umständlich. Ordnet man die Zahlen wiederum in n Reihen an, so erhält man ‘Pascalsche Dreiecke höherer Ordnung’. Sie sing (a) symmetrisch, (b) Die Summe der Zahlen der n ‐ten Reihe ist stets (2 I + 1) n und (c) Es ergibt sich jede Zahl in irgendeinem der Dreiecke als Summe der r darüberstehenden Zahlen, wobei r = 2 I + 1 ist. Für die Berechung der v ‐ten Zahl in der n ‐ten Reihe eines beliebigen Dreiecks höherer Ordnung wird eine Rekursionsformel angegeben. Weitergehend wird gezeigt, daß auch eine direkte Berechnung, ohne Kenntnis der Zahlen der voraufgehenden Reihe, bei beliebig hohen Werten von n und I aus der Beziehung:\documentclass{article}\pagestyle{empty}\begin{document}$$ x_r (n,\,v) = \sum\limits_{k = 0}^a {(- 1)^k} \left({\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\\end{array}} \right)\left({\begin{array}{*{20}c} {n + r - kr - 2} \\ {n - 1} \\\end{array}} \right) $$\end{document}möglich ist. Darin ist a die größte ganze, psotive Zahl ≦( v – 1)/ r und ≦ n . Unter der Voraussetzung, daß die Hyperfeinstruktur‐Aufspaltung J klein gegenüber der chemischen Verschiebungsdifferenz Δν* ist, lassen sich die relativen Intensitäten der Hyperfeinstrukturlinien aus der Formel in sehr einfacher Weise berechnen, wie an einigen Beispielen gezeigt wird.