Zur Mengenlehre Über Klassen

I n [l], [ Z ] fiihrt A. OBERSCHELP eine Mengenund Blassentheorie ein, die qinige bemerkenswerte Aspekte besitzt. I n der vorliegenden Arbeit zeigen wir, da13 im System der Mengenlehre uber Klassen mit M-Komprehension (kurz 0 + M-Komp) das System von KELLEY-MORSE (kurz KM) interpretierbar ist. Daraus folgt, da13 die Konsistenz von 0 +M-Komp die Konsistenz von KM impliaiert. Weiterhin zeigen wir, da13 relativ zur Konsistenz von ZFC + ,,Es gibt eine stark unerreichbare Zahl" die V-Komprehension (zur Def. s. u.) widerspruchsfrei und unabhangig von O+M-Komp ist. 8 1. Es sei L die Sprache erster Stufe mit den Symbolen =, 1, v, 3, (, ) [A, +, CT, V, 3-l und beschrankte Quantoren werden als Abkurzungen benutzt], Individuenvariablen A,, A , , A , , . . . , einer Konstanten 0 und Relationskonstanten M (einstellig) und E (zweistellig). L(, entsteht aus L durch Hinzunahme einer (zweistelligen) Operationskonstanten (, ). Terme und Formeln werden wie ublich eingefuhrt. Zur Klammerersparnis treffen wir die Konvention, da13 v und A sthrker binden als -+ und CT. Wir schreiben statt MX auch X E M, wobei zu beachten ist, da13 M kein Individuum der Theorie ist. Folgende Abkurzungen werden henutzt : X E U fur ~ X = ~ A ( V Y ) ~ Y E X , X e E fur X E M V X E U , A = ( X I @ } fur ( V X ) ( X E A + + @ ) , wobei di eine Formel ist, in der die Variable A nicht frei vorkommt, (X, Y} fur {CIC = X v C = Y>, UX fur { C ( ( ~ Y E M ) ( Y E X A C E Y ) } , X u Y fur (ClC E X v C E Y} (entsprechend fur 0, A), X s Y fur ~ X E U A ( V Z E X ) Z E Y , P M X fur { C ~ C E M A C ~ X } . Rahmenaxiome sind die Generalisierungen von ( A x l ) ( ~ X ) X E A A ( V X ) ( X E A ~ ~ X E B ) + A z , (Ax 2 ) ( A x 3 ) , ~ E U + ~ A E M , (Ax 4) 0 E M A (VX) i X E 0,