Zur Modelltheorie Lokaler und Globaler Körper

Nach ARTIN-TATE [l J lLBt sich die Klassenkorpertheorie, sowohl die lokale wie die globale, einheitlich auf die Axiome einer sogenannten Klassenformation zuruckfuhren ; besitzt also ein Korper eine Klassenformation im Sinne von [l], Kap. 14, so gelten die SLtze der Klassenkorpertheorie, speziell also der Isomorphiesatz. 1st diese Formation zusatzlich eine topologische Klassenformation ([l], Kap. 14, 0 6), so gilt sogar der Existenzsatz. Man uberlegt sich nun leicht (siehe 2 . ) . daB fur einen Korper die Existenz einer Klassenformation eine elementare Eigenschaft ini Sinne der mathematischen Logik ist (formulierbar in der Sprache erster Stufe der Korpertheorie). Das bedeutet, da13 man fur Nichtstandardmodelle oder Ultraprodukte lokaler bzw. globaler Korper eine Klassenkorpertheorie besitzt. Beschrankt man sich auf lokale Korper, so hat dies den Vorteil, daB der Formationsmodul rein algebraisch durch den zugrunde gelegten Korper gegeben ist, wiihrend im globalen Fall die modelltheoretische Situation (Nichtstandardmodell, Ultraprodukt, 0. a.) bei der Definition des Formationsmoduls von Bedeutung ist. Zur Untersuchung der Gultigkeit des Existenzsatzes wird dann ein Nichtstandardmodel1 *Q der vollen Struktur Q uber Q vorgegeben. Hinsichtlich der Grundlagen fiber Strukturen hoherer Stufe und ihre Xichtstandardmodelle sei auf KLINGEN [8], $ 1 verwiesen. Grob kann man die Situation etwa folgendermaoen umreiBen: In der vollen Struktur Q uber Q sind alle Objekte zusammengefaBt. die man mit den ublichen mengentheoretischen Bildungeri aus Q gewiniit : also alle Teilmengen von Q, beliebige kartesische Produkte, die Potenzmenge von Q usw. Auf diese Weise gehoren zu Q (bis auf Bijektionen) alle in der Zahlentheorie vorkommenden Objekte, wie algebraische Zahlkorper, endliche Korper, Funktionenkorper daruber, uberhaupt alle globalen und lokalen Korper. Die Eigenschhften eines Nichtstandardmodells *Q von Q lassen sich folgendermaBen zusammenfassen :