Une Etude sur des Structures Ayant une Certaine Propriete de Seuil Pour les Automorphismes Elementaires

Soit B,(T) l’algkbre de Boole des formules, modulo une theorie T, du langage de T et ayant au plus n variables libres xl, . . . , xn; ROSENSTEIN [14] a montre que, pour un ordre total M , la th6orie Th(M) est N,-catBgorique lorsque B,(Th(M)) est finie. Par ailleurs, on s’aperpoit que les ordres totaux possedent une certaine propriQt6 de seuil Q n = 2, que nous pr&ciserons, pour lea isomorphismes partiels extensibles par va et viens (cf. [4] et [5 ] ) . Cette propriet6, sous une forme un peu plus forte, intervient pour une part importante dans certains travaux sur les propriet6s 6lQmentaires des ordres totaux (cf. par ex.: [SJ, [16]). Nous gCn6ralisons cette propri6t6 b n quelconque et l’exprimons sous une forme plus faible, en termes d’automorphismes 616mentaires : nous disons qu’une structure X est n-616mentaire lorsque, pour toute application injective interne f d’une partie finie de IS1 dans IS(, si toute restriction de f Q n 616ments est un automorphisme Blhmentaire de 8, alors f en est un aussi. Nous donnons un ensemble de r6sultats gen6raux lies aux structures n-616mentaires pour un certain n, en particulier: des BnoncQs en rapport avec la N,-cathgoricitB, dont le rhsultat de J. G. ROSENSTEIN pour les ordres totaux (obtenu par une mhthode totalement differente) est un cas particulier, des 6nonc6s concernant les classes d’kquivalence des formules modulo une thkorie, et concernant les theories model-compl8tes. Nous donnons aussi des exemples varies de structures n-QIGmentaires. Le cas des groupes ab6liens infinis est inthressant, car il fournit de nombreux exemples, et il nous permet de construire des structures n-616mentaires et non (n 1)-616mentakes, ceci pour tout n. Nous sommes amerks, pour cela, Q considerer un certain aspect combinatoire et Q montrer une certaine propri6t6 de seuil pour les intersections d’un ensemble de parties d’un ensemble fini.