Das Homomorphietheorem für MV‐Algebren Endlicher Ordnung

Ein algebraisches Gegenstuck zu den funktional vollstandigen endlichwertigen LuKASIE wrczschen Aussagenlogiken kann man im Rahmen der Theorie der MV-Algebren aufbauen, die auf Untersuchungen von CRANC El], [2] zuriickgeht.2) Entscheidend ist hierfiir der Begriff einer MV-Algebra von endlicher Ordnung. Dns Ziel der vorliegenden Arbeit ist ein nzetarnathernatischer Beweis des Homomorphietheorems fur MV-Algebren endlicher Ordnung. Die Darstellung stutzt sich auf cin Sequenzenschlieflen f&r funktional vollst&n&ge hrKASIEWICZSche Aussagenlogiken, das zuerst von SCHR~TER [7]beschrieben worden ist.3) Dieser syntaktische Begriff des SequenzenschlieSens ist vollstiindig durch einen semantischen Folgsrungsbegriff charakterisierbar. Auf dieses Vollstandigkeitstheorem fur das Sequenz~nschlieSen werden wir das Homomorphietheorem fur MV-Algebren endlicher Ordnung zuriickfiihren. Die Arbeit, gliedert sich in drei Abschnitte: Im ersten Abschnitt stellen wir die Ergebnisse aus der aribhmetischen Theorie der MV-Algebren dar, die wir fur unsere weiteren uberlegungen ben6tigen. I m zweiten Abschnitt beschreiben wir das Scquenzenschliefien fur funktional vollstiindige endlichwertige ~UKAsrEwIcZsche Aussagenlog&en. Der dritte Abschnitt enthalt einen metamathematischen Beweis des Homoniorphietheorems fur MV-Algebren endlicher Ordnung. Wir wollen die folgenden terminologischen Verabredungen treffen. Kleine griecliisclie Buchstaben sollen stets natiirliche Zahlen bezeichnen. Wir setzen dabei voraus, die natiirlichen Zahlen seien so definiert, daS jede von h e n die Menge aller kleineren ist. Fur jede naturliche Zahl ist BISO /l = (6: 6 < b). Es seien X und Y Mengen. Ferner sei R g X x Y . SchlieSlicE sei A X. Dann soll R ( A ) die Menge aller b E I’ sein, fur die es ein a E A gibt, so daB Rab. Fur jede Menge X sei PX ihre Potenzmenge. AuBcrdem sei X \ Y die Differenz der Mengen X und Y . Schli&lich sei 1x1 die Kardinalzahl der Nenge X.