Zur physikalischen Deutung und darstellungstheoretischen Analyse der konformen Transformationen von Raum und Zeit

Es wird versucht, die Skalentransformationen und speziellen konformen Transformationen von Raum und Zeit als ortsunabhängige und ortsabhängige Umeichungen der Längeneinheit zu interpretieren. Dabei zeigt sich, daß die Zuordnung von Längendimensionen zu physikalischen Größen gleichbedeutend ist mit der Forderung, daß diese zu einer Darstellung der Skalentransformationen gehören. Eine darstellungstheoretische Analyse mittels der Cartanschen Methode der höchsten Gewichte ergibt, daß zu Tensoren als Längendimensionen immer ganze Zahlen gehören. Alle Darstellungen endlichen Grades der 15parametrigen konformen Gruppe lassen sich mittels zweier 4dimensionaler Spindarstellungen konstruieren, indem man von der schon bekannten Eigenschaft der Dirac‐Algebra Gebrauch macht, daß diese sich als Lie‐Algebra der konformen Transformationen von Raum und Zeit auffassen läßt. Dabei hat man solche Kombinationen der γ‐Matrizen, wie sie auch in der Theorie der schwachen Wechselwirkungen (V–A‐Kopplung) auftreten. Stellt man die Lie‐Algebra der konformen Gruppe im Raum der Funktionen mit den Koordinaten x μ dar, so zeigt sich, daß dies nicht mit einer positiv definiten Metrik möglich ist und daß die Eigenvektoren der Energie‐Impuls‐Operatoren, die ebenen Wellen, kein vollständiges System bilden. Es scheint, daß die physikalisch interessanten Darstellungen unendlichen Grades der konformen Gruppe nicht die unitären sind. Ferner besteht ein Zusammenhang zwischen den vier Operatoren, die die infinitesimalen speziellen konformen Transformationen erzeugen, und den quantenmechanischen Ortsoperatoren. Schließlich zeigt sich daß die bekannten, zur inhomogenen Lorentz‐Gruppe gehörigen Felder wegen ihrer Unsymmetrie in den Längendimensionen nur eine unvollständige Darstellung der konformen Gruppe bilden.