Zur Frage der Existenz von singularitätsfreien Lösungen der allgemein‐relativistischen Feldgleichungen, die Teilchenmodelle darstellen könnten

Die von Einstein gestellte Frage nach der Existenz von singularitätsfreien Lösungen der Gravitationsgleichungen, die die Grenzbedingung g μν η μν für r → ∞ erfüllen (und die als Modelle von beständigen Teilchen verwendbar sein könnten), wurde für den Fall der stationären Lösungen durch die Untersuchungen von Einstein und Pauli und von Lichnerowicz negativ beantwortet. In der vorliegenden Arbeit wird die Existenz von zeitlich periodischen singularitätsfreien Lösungen der Gravitationsgleichungen diskutiert. Aus den Ergebnissen von Papapetrou über das asymptotische Verhalten von periodischen Feldern folgt, daß eine solche Lösung nur in einem endlichen Innenbereich des dreidimensionalen Raumes, in dem das Gravitationsfeld stark ist, zeitlich periodisch sein könnte und mittels einer Sprungfläche an ein stationäres Außenfeld anzuschließen wäre. Aus Stellmachers Untersuchungen über die mit den Feldgleichungen verträgliche Sprünge folgt nun, daß diese Sprungfläche eine glatte Nullhyperfläche sein muß. Es wird dann ein geometrischer Satz über glatte Hyperflächen hergeleitet, aus dem sich ergibt, daß eine derartige Sprungfläche nicht existieren kann. Demnach erlaubt Einsteins Theorie des reinen Gravitationsfeldes auch keine zeitlich periodischen singularitätsfreien Lösungen und somit keine Modelle beständiger Teilchen. – Auf dasselbe negative Ergebnis führt auch die Diskussion der notwendigen Eigenschaften von zeitlich periodischen singularitätsfreien Lösungen der Einstein‐Maxwellschen Feldgleichungen für das kombinierte Gravitations‐ und elektromagnetische Feld.