Der Logarithmus einer Matrix und die Anwendung in der Systemidentifikation

Es wird ein numerisches Rekonstruktionsverfahren für Systemmatrizen linearer zeitinvarianter Systeme vorgestellt. Aus einer Simulation oder Messung liegen Zustandsvektoren z z k vor, die der Beziehung z k +1 = exp ( A h ) z k genügen. Ein Weg der Rekonstruktion besteht darin, die Zustandsvektoren in Meßmatrizen Z 0 = [ z 0 z 1 … z n –1 ], Z 1 = [ z 1 z 2 … z n ] zusammenzufassen, die ihrerseits durch die Matrixexponentialfunktion exp ( A h ) verknüpft sind; die gesuchte Systemmatrix folgt aus der Gleichung A = $1 \over h$ ln( Z 1 Z 0 –1 . In der Praxis werden mehr Beobachtungen als Zustandsgrößen vorliegen, d.h. Z 0 , Z 1 sind Rechteckmatrizen, so daß die Pseudoinverse Z + 0 zur Berechnung von A gebildet wird. Das Verfahren wird hier an mechanischen Schwingungssystemen verdeutlicht, die sich durch Differentialgleichungen der Form Mü + Du̇ + Ku = 0 beschreiben lassen. Neben der Anwendung werden Algorithmen zur Berechnung des Logarithmus einer Matrix aufgezeigt.