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— In this expository article, we give a detailed proof of the classification by Thurston of the eight model geometries in dimension three. Le but de cette rédaction est de donner une preuve de la classification des géométries modèles de Thurston de dimension 3. Ces géométries ont été introduites par ce dernier pour énoncer la conjecture de géométrisation, qui classifie, en un certain sens, les variétés de compactes de dimension trois ; cette conjecture, partiellement prouvée par Thurston lui-même [11, 12] (voir aussi Scott [10]), englobe en particulier la conjecture de Poincaré — toute variété compacte simplement connexe de dimension trois est homéomorphe à la sphère — et a été récemment prouvée par Perelman dans quelques courtes notes non publiées [7, 9, 8]. Pour les développements récents, le lecteur est renvoyé aux survols de Morgan [5] et Bessières [2], aux notes détaillées de Kleiner-Lott [4] et à l’ouvrage en préparation [1]. Thurston introduit la notion de géométrie modèle ; ce sont des espaces riemanniens homogènes, avec certaines conditions supplémentaires rappelées plus bas ; il classifie ces dernières, en dimension trois, dans son ouvrage [13]. Nous donnons ici une exposition détaillée de cette classification. L’approche proposée ici, fortement inspirée de [13], utilise essentiellement des résultats simples sur les groupes de Lie de petite dimension, et ne requiert pas plus de technicité que les résultats fondamentaux sur la correspondance groupes-algèbres de Lie. On a pris un soin très particulier à prouver, dans chaque cas, l’axiome de (c) de maximalité (tous les détails ne sont pas développés dans la démonstration donnée dans [13]). Mots-clés : géométrie modèle, géométrie de Thurston, géométrisation. Classification math. : 57M50, 22E40, 57M60. 18 YVES DE CORNULIER 1. Géométries modèles Si X est une variété différentielle, on note Diff(X) le groupe des difféomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte (pour qui la convergence est la convergence uniforme sur les compacts), qui en fait un groupe topologique. Définition 1.1. — Une géométrie modèle est un couple (G,X), X étant une variété différentielle et G un groupe de difféomorphismes de X, vérifiant les hypothèses (a) et (b) suivantes : (a) X est simplement connexe. (b) L’action de G sur X est transitive, à stabilisateurs compacts. Commençons par observer les conséquences suivantes : – Si (G,X) est une géométrie modèle, alors il existe sur X, grâce à (b), une métrique riemannienne μ invariante par G. Une telle métrique est forcément complète, car G agit transitivement. Mais elle n’est pas toujours unique à multiple scalaire près : elle l’est si et seulement si le stabilisateur Gx d’un point x (et donc de tout point) agit irréductiblement sur l’espace tangent TxX. – Si (G,X) est une géométrie modèle, alors G est un groupe de Lie. En effet, le stabilisateur K d’un point p ∈ X est compact, et s’envoie dans O(TpX) ; l’image de cette application est un groupe de Lie (car tout sous-groupe fermé d’un groupe de Lie est de Lie). De plus, l’action deK sur un petit voisinage de p est conjuguée à l’action de K sur TpX par l’exponentielle en p. Cela montre en particulier que l’ensemble X des points fixes de φ ∈ K est une sous-variété fermée de X. Par connexité de X, si φ 6= 1 alors X est d’intérieur vide, et en particulier en p. Cela montre que l’action de K sur TpX est fidèle, si bien que K est un groupe de Lie. De plus, G/K s’identifie à X donc est aussi une variété. Donc, comme la projection G→ G/K est un fibré de base X et de fibre K, et que K et X sont des variétés, G possède une unique structure de variété qui fait de ce fibré un fibré différentiable. – Soit G0 la composante neutre de G. Alors G0 agit transitivement sur X, et les stabilisateurs de G0 sont connexes. En effet, les orbites de G0 sont ouvertes (car G0 est ouvert dans G, et ce car G est un groupe de Lie), donc G0 agit transitivement par connexité de X. Ensuite, pour x ∈ X, l’inclusion (Gx) ⊂ (G)x induit un revêtement G/(Gx) → G/(G)x = X, trivial par simple connexité de X. SÉMINAIRE DE THÉORIE SPECTRALE ET GÉOMÉTRIE (GRENOBLE) GÉOMÉTRIES MODÈLES DE DIMENSION TROIS 19 On définit une variété modelée sur (G,X) comme un quotient de X par un sous-groupe discret de G agissant librement sur X. Une variété modelée sur X hérite de toute métrique riemannienne invariante sur X. Définition 1.2. — On dira qu’une géométrie modèle (G,X) est de Thurston si elle vérifie les axiomes supplémentaires (c) et (d) suivants : (c) G est maximal parmi les groupes de difféomorphismes de X agissant avec stabilisateurs compacts. (d) Il existe une variété compacte modelée sur (G,X). – Si (G,X) est une géométrie modèle vérifiant l’axiome (c), et si μ est une métrique riemannienne invariante par G, alors G = Isom(X,μ). En effet, on sait que G ⊂ Isom(X,μ) ; or le groupe de isométries d’une variété riemannienne connexe agit toujours avec stabilisateurs compacts, donc par maximalité de G l’inclusion ci-dessus est une égalité. Ceci permet de voir que l’axiome (c) est équivalent au suivant : pour toute métrique μ G-invariante sur X, G = Isom(X,μ). – Si (G,X) est une géométrie modèle vérifiant l’axiome (d), alors G est un groupe de Lie unimodulaire. En effet, il existe une variété compacte M = Γ\G modelée sur (G,X). Si, par choix d’un point-base on écrit X = G/K, on a M = Γ\G/K pour un certain sous-groupe discret Γ de G. Alors, comme K est compact, Γ\G est également compact, i.e. Γ est un réseau cocompact de G, ce qui impose à G d’être unimodulaire (car il possède un réseau). La réciproque n’étant pas vraie en général, on devra par la suite prouver au cas par cas l’existence d’un réseau dans les groupes que nous aurons à étudier. Plan. — La partie 2 parle des espaces à courbure sectionnelle constante, ce qui suffit pour décrire les géometries modèles en dimension deux. La partie 3 décrit les géometries en dimension trois, et contient le cœur de la preuve, en suivant pour l’essentiel la démarche géometrique de Thurston [13] ; elle se réfère pour certains points techniques à l’appendice qui contient des résultats élementaires sur les groupes de Lie de petite dimension, nécessaires à la complétude de la preuve, ainsi que quelques résultats auxiliaires. Il peut pour l’essentiel être lu indépendamment des parties qui le précedent. 2. Exemples fondamentaux Des exemples classiques et fondamentaux de géométries modèles sont données par les espaces à courbure constante : l’espace euclidien E (n > 1) VOLUME 27 (2008-2009) 20 YVES DE CORNULIER à courbure nulle, la sphère S (n > 2) à courbure constante positive, et l’espace hyperbolique H (n > 2) à courbure constante négative. La métrique invariante est dans ces cas-là unique à multiple scalaire près, et le groupe des isométries ne dépend donc pas de ce choix, il s’agit respectivement de E(n), O(n + 1), et PO(n, 1) (ce dernier étant isomorphe à PGL(2,R) si n = 2), si bien que l’axiome (c) est vérifié. Pour ces géométries modèles, l’axiome (d) est aussi respecté et ce sont donc des géométries de Thurston : c’est trivial dans le cas de la sphère puisqu’elle est elle-même compacte, et facile dans le cas de l’espace euclidien (prendre un tore). Reste à voir le cas hyperbolique bien connu. Il est très facile de “bricoler” des exemples en dimension 2 (en recollant quelques triangles hyperboliques), mais c’est plus difficile en dimension supérieure. L’argument le plus expéditif est d’utiliser l’argument général d’existence, dû en toute généralité à A. Borel [3], d’un réseau cocompact sans torsion dans tout groupe de Lie semi-simple (ici PO(n, 1), pour n > 2). Donnons quand même un exemple explicite de variété compacte en dimension en dimension 3 : l’espace dodécaédral de Seifert-Weber (voir [13, page 36] pour plus de détails). Pour l’obtenir, on considére, dans l’espace hyperbolique orienté de dimension 3, un dodécaèdre régulier d’angles dièdres 2π/5 (cela existe bien). On identifie deux faces opposées de la façon suivante : on prend une face F , on considère l’axe partant du centre de cette face jusqu’au centre de la face opposée F ′, et on translate F suivant cet axe jusqu’à F ′, et on la tourne de 3π/5 (dans le sens positif déterminé par l’orientation), l’identifiant ainsi à la face opposée. On vérifie que ce recollement définit bien une structure de variété hyperbolique. Le théorème qui suit dit que les espaces à courbure constante sont les seules géométries modèles en dimension 1 et 2. Théorème 2.1 (Géométries modèles de dimension 1 et 2). — La seule géométrie modèle de dimension 1 est E1 ' E(1)/O(1). Les géométries modèles de Thurston de dimension 2 sont le plan euclidien E2 ' E(2)/O(2), la sphère S2 ' O(3)/O(2), et le plan hyperbolique H2 = PGL(2,R)/PO(2). Remarque 1. — La preuve qui suit montre que le résultat de ce théorème est valable sans utiliser l’axiome (d). Elle montre également que c’est encore le cas si on remplace l’axiome (c) par sa forme faible suivante : la composante neutre G0 est maximal parmi les groupes connexes de difféomorphismes agissant sur X (donc, ici, si G0 est dimension 3), les mêmes arguments montrent qu’on obtient forcément SÉMINAIRE DE THÉORIE SPECTRALE ET GÉOMÉTRIE (GRENOBLE) GÉOMÉTRIES MODÈLES DE DIMENSION TROIS 21 comme espace l’un de ces trois, avec, comme groupe agissant, soit tout le groupe des isométries, soit le groupe des isométries directes. Démonstration. — On fixe une métrique invariante. Pour le cas de dimension 1, on sait que toutes les métriques complètes sur R sont isométriques. Pour la dimension deux, par homogénéité, la courbure est constante. Or il est bien connu qu’une variété riemannienne complète simplement connexe à courbure constante est, à multiplication de la métrique par un scalaire près, la sphère euclidienne (courbure 1), l’espace euclidien (courbure 0), ou l’espace hyperbolique (courbure -1). Dans tous les cas, l’axiome (c) implique G = Isom(X). Ce résultat ne tient plus en dimension > 3 : on a par exemple les géométries p

Géométries modèles de dimension trois