Sur le noyau de la chaleur associé aux puissances tensorielles d'un fibré en droites complexes. Estimations asymptotiques et théorèmes d'annulation

L’objet de cet exposé est de présenter aux géomètres riemanniens les techniques de théorie spectrale que j’ai été amené à utiliser pour traiter de certains problèmes en géométrie analytique. La première section présente les objets considérés, et donne la version riemannienne d’énoncés obtenus dans les [B i], i=1, 2, 3. En particulier, je montre qu’un équivalent uniforme comme celui du théorème 1.1 ci-dessous peut impliquer un résultat d’annulation sous des hypothèses autorisant un tout petit peu de négativité. Le contexte dans lequel je me place pour cet exposé est le suivant : M est une variété riemannienne compacte de dimension d, L (resp. E) un fibré vectoriel complexe hermitien C ∞ de rang 1 (resp. r) au dessus de M. On se donne une connexion riemannienne sur L et on note∇k la connexion induite sur E (k) = E⊗ L⊗k. On a alors un « laplacien brut »Dk = ∇∗ k ∇k agissant sur les sections de E (k) et l’on définit l’opérateur de Schrödinger suivant : k = kDk + V où V est un opérateur autoadjoint d’ordre 0. L’intérêt des géomètres complexes pour ce type d’opérateur date de l’article [ De] dans lequel J.-P. Demailly a montré que le laplacien antiholomorphe agissant sur les (p,q)-formes à valeur dans E (k) peut être interprété comme un laplacien k k pourvu que l’on remplace E par le fibré (non holomorphe en général) p,qT∗M⊗E. Le problème spécifique qui m’occupe ici est l’étude spectrale de l’opérateur k. La brève histoire de ce problème peut se résumer ainsi : en 85, Demailly établit l’asymptotique de Weyl pour cet opérateur. Simultanément, Y. Colin de Verdière publie [ CdV] qui relève de préoccupations voisines. Un peu plus tard, J.-M. Bismut trouve un équivalent ponctuel pour le noyau de la chaleur associé (méthodes probabilistes), que E. Getzler généralise à différentes situations (méthodes analytiques). Je donne ci-dessous les grandes lignes de la méthode analytique que j’ai employé pour obtenir en outre un contrôle plus précis de l’uniformité par rapport au temps.