Realisable classes, Stickelberger subgroup and its behaviour under change of the base field

— Let K be an algebraic number field with ring of integers OK and let G be a finite group. We denote by R(OK [G]) the set of classes in the locally free class group Cl(OK [G]) realisable by rings of integers in tamely ramified G-Galois K-algebras. McCulloh showed that, for every G, the set R(OK [G]) is contained in the so-called Stickelberger subgroup St(OK [G]) of Cl(OK [G]). In this paper first we describe the relation between St(OK [G]) and Cl(OK [G]), where Cl(OK [G]) is the kernel of the morphism Cl(OK [G]) −→ Cl(OK), induced by the augmentation map OK [G] −→ OK . Then, as an example of computation of St(OK [G]), we show, just using its definition, that St(Z[G]) is trivial, when G is a cyclic group of order p or a dihedral group of order 2p, where p is an odd prime number. Finally we prove that St(OK [G]) has good functorial behaviour under change of the base field. This has the interesting consequence that, given an algebraic number field L, if N is a tame Galois L-algebra with Galois group G and St(OK [G]) is known to be trivial for some subfield K of L, then ON is stably free as an OK [G]-module. Résumé. — Soient K un corps de nombres d’anneau des entiers OK et G un groupe fini. On note R(OK [G]) l’ensemble des classes dans le groupe des classes des modules localement libres Cl(OK [G]) qui peuvent être obtenues par l’anneau des entiers des K-algèbres galoisiennes modérément ramifiées de groupe de Galois G. McCulloh a prouvé que, pour tout G, l’ensemble R(OK [G]) est contenu dans le soi-disant sous-groupe de Stickelberger St(OK [G]) dans Cl(OK [G]). Dans ce papier d’abord nous nous focalisons sur la relation entre St(OK [G]) et Cl(OK [G]), où Cl(OK [G]) est le noyau du morphisme Cl(OK [G]) −→ Cl(OK), induit par l’augmentation OK [G] −→ OK . Puis, comme exemple de calcul du groupe St(OK [G]), nous montrons, en utilisant sa définition, que St(Z[G]) est trivial si G est soit un groupe cyclique d’ordre p soit un groupe diédral d’ordre 2p, avec p premier impair. Enfin, nous montrons la fonctorialité de St(OK [G]) par rapport au changement du corps de base. Ceci implique que, soit L est un corps de nombres, si N est une L-algèbre galoisienne modérément ramifiée, de groupe de Galois G, et St(OK [G]) est connu être trivial pour un certain sous-corps K de L, alors ON est un OK [G]-module stablement libre. Mathematical subject classification (2010). — 11R33, 11R04, 11R18, 11R29, 11R32, 11R65.