Small-sum pairs in abelian groups

Soient G un groupe abelien fini et A, B deux sous-ensembles de G tels que |A| = |B| = k et |A+A| = |A+B| = 2k-1. Pour tous sous-ensembles X, Y de G et c ∈ G, notons v c (X, Y) le nombre de couples (x, g) ∈ X x Y tels que c = x+y. Nous resolvons une question de Bihani et Jin en montrant qu'il existe g ∈ G tel que A = g + B si A + B est aperiodique ou s'il existe a ∈ A et b ∈ B tels que v a+b (A, B) = v a+a (A, A) = 1. Nous donnons aussi une description explicite des divers contre-exemples qui se presentent si aucune de ces hypotheses n'est satisfaite.