Extending piecewise polynomial functions in two variables

We study the extensibility of piecewise polynomial functions defined on closed subsets of R2 to all of R2. The compact subsets of R2 on which every piecewise polynomial function is extensible to R2 can be characterized in terms of local quasi-convexity if they are definable in an o-minimal expansion of R. Even the noncompact closed definable subsets can be characterized if semialgebraic function germs at infinity are dense in the Hardy field of definable germs. We also present a piecewise polynomial function defined on a compact, convex, but undefinable subset of R2 which is not extensible to R2. RESUME. Nous etudions l’extensibilite des fonctions polynome par morceaux definie sur des sous-ensembles fermes de R2 a tout de R2. La sous-ensembles compacts de R2 sur lequel chaque fonction polynome par morceaux est extensible a R2 peut etre caracterise en termes de quasi-convexite locaux si elles sont definissables dans une expansion o-minimale de R. Meme les sous-ensembles non compactes fermes definissables peut etre caracterisee si les germes de fonctions semialgebrique a l’infini sont denses dans le corps de Hardy des germes definissables. Nous presentons egalement une fonction polynome par morceaux definie sur un sous-ensemble compact, convexe, mais indefinissable de R2, ce qui n’est pas extensible a R2.