Группы $S$-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби

В работах [1]–[4] представлен ряд результатов, связанных с решением проблемы вычисления групп S-единиц в гиперэллиптических полях, развитием теории непрерывных дробей в функциональных полях и их связей с вычислением фундаментальных S-единиц. Настоящая статья содержит расширенное изложение результатов, анонсированных в [1]–[4]. Предлагаются два новых метода вычисления фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях. Первый метод базируется на новой эффективной процедуре линеаризации поиска решений естественного норменного уравнения. В важном для применений эллиптическом случае, когда нормирования из S индуцируются точками на эллиптической кривой, обнаружена новая интересная связь с ганкелевыми матрицами. Второй метод имеет иную природу. Вначале мы получаем некоторые результаты о непрерывных дробях в функциональных полях, которые представляют определенный независимый интерес, а затем применяем их для решения норменного уравнения. В том случае, когда нормирования из S задаются линейными многочленами, метод непрерывных дробей дает самые быстрые алгоритмы вычисления фундаментальных S-единиц. Однако в отличие от первого метода метод непрерывных дробей утрачивает свою эффективность в случае, когда S содержит нормирования более общего характера. Пусть k = Fq(x) – поле рациональных функций от одной переменной над конечным полем Fq характеристики p > 2. Для неприводимого многочлена