Формальная теорема Фробениуса и метод сдвига аргумента

В данной работе мы доказываем формальную теорему Фробениуса, которая является формальным аналогом классической теоремы об интегрируемости гладких распределений. Далее, мы применяем ее для построения коммутативного набора полиномов в пуассоновой алгебре P (g), ассоциированной с конечномерной алгеброй Ли g над произвольным полем K нулевой характеристики и доказываем критерий полноты этого набора. Рассмотрение алгебр Ли над произвольным полем в этом контексте мотивировано доказательством гипотезы Мищенко-Фоменко [6] о том, что в пуассоновой алгебре любой конечномерной вещественной или комплексной алгебры Ли существует полный коммутативный набор полиномов. Эта гипотеза была доказана А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко для полупростых алгебр Ли при помощи разработанного ими метода сдвига аргумента [5]. В общем случае ее доказал С.Т. Садэтов [7], предложив алгебраическую конструкцию, сводящую задачу к алгебре Ли меньшей размерности над новым полем, являющимся расширением исходного, см. также [3]. Таким образом, даже стартуя с алгебры Ли над ”привычным“ полем вещественных или комплексных чисел, в процессе построения полного коммутативного набора в P (g) приходится рассматривать алгебры Ли над новыми полями. Итак, пусть g — алгебра Ли над произвольным полем K. В этом случае, в отличие от вещественных, комплексных или алгебраических алгебр Ли, отсутствует группа (Ли или алгебраическая) G и, следовательно, мы не можем использовать теорию инвариантов, которая часто применяется для изучения различных вопросов, связанных с алгебрами Ли. Например, в методе сдвига аргумента “базовыми” функциями для построения полного коммутативного набора в P (g) являются инварианты коприсоединенного представления, т.е. аналитические функции постоянные на орбитах представления Ad∗ : G → gl(g∗). Хотя в случае произвольного поля коприсоединенное представление группы не определено, оказывается, можно естественным способом определить объекты, играющие роль его инвариантов. Если K = R или C, то хорошо известно, что аналитическая функция f ∈ A(g∗) является инвариантом тогда и только тогда, когда addf(x)x = 0. В этом определении участвуют только структурные константы алгебры Ли g, поэтому оно имеет смысл для любого поля K. В случае произвольного поля надо лишь договориться, что понимать под f . Ограничиться только рациональными функциями K(g∗), как это позволяет сделать теорема Розенлихта в случае алгебраической алгебры Ли, нельзя, так как мы не предполагаем алгебраичности g, а в таком случае рациональных инвариантов для по-