Ist die Folge der Primzahl-Quersummen beschränkt?

Im Rahmen einer einführenden Übung zur analytischen Zahlentheorie stellte mir ein Student die interessante Frage, ob man Primzahlen mit Quersummen größer als eine beliebige vorgegebene Konstante finden könne, oder ob alle Primzahlen Quersummen kleiner als eine bestimmte obere Schranke hätten? Wenn letzteres der Fall wäre, könnte man daraus doch ein Kriterium für die Zusammengesetztheit großer Zahlen herleiten. Mir schien es zwar höchst unwahrscheinlich, dass die Quersummen von Primzahlen beschränkt sein sollten, aber auf Anhieb konnte ich die Frage des Studenten nicht beantworten und vertröstete ihn damit, bis zur nächsten Sitzung der Sache nachzugehen und die Frage zu klären. Dies tat ich in der Hoffnung, in der gängigen Lehrbuchliteratur dahingehende Hinweise zu finden. Doch sollte diese Aussicht auf einen raschen Erfolg bald enttäuscht werden. Stattdessen fand ich nur eine verschärfte Version der Frage im Abschnitt A3 des berühmten Buches über offene Probleme in der Zahlentheorie von Richard K. Guy [4]: