Eine besondere Familie von Polynomen

In der Formel für den Tangens eines n-fachen Winkels treten Polynome pn und qn in Z[x] auf. Diese Polynomfamilien (pn)n≥1 und (qn)n≥1 haben unerwartete Eigenschaften, welche sich mit elementaren Mitteln herleiten lassen. Beispielsweise lässt sich mit ihrer Hilfe die komplexe Wurzelfunktion auf einem maximalen Holomorphiegebiet gebrochen rational approximieren. Es handelt sich dabei um ein konkretes Beispiel für den allgemeinen funktionentheoretischen Satz von Runge [1]. Es bezeichne G := C \ {z ∈ R | z ≤ 0} die eingeschnittene komplexe Ebene und H := {z ∈ C | Re z > 0} die rechte Halbebene. Wir definieren die komplexe Wurzelfunktion √ durch ihren Hauptwert √ : G → H , r e → √r eiφ/2 (r > 0 , |φ| < π) und beginnen mit den für z ∈ G definierten Hilfsfunktionen hn(z) := ( 1 + √z)n , kn(z) := ( 1 − √z)n (n ≥ 1) .