Uma introdução à Holonomia

Dado um vetor tangente à , chamamos de transporte paralelo o transporte de ao longo de uma curva de modo que o vetor resultante seja paralelo à . Dada uma curva com aceleração nula o transporte paralelo é realizado com facilidade, pois o ângulo entre o vetor e a curva se mantém constante. Chamamos esta curva de geodésica, que é análoga à reta no plano. Tome então uma curva fechada composta por geodésicas. Ao realizar transporte paralelo de um vetor tangente por por um ciclo, o ângulo entre o vetor inicial e o vetor após o transporte é o chamado ângulo de holonomia. Sabemos que holonomia e curvatura se relacionam quando em uma superfície diferenciável por: Onde é, naturalmente, a região interior à curva fechada . Queremos então usar holonomia como definição alternativa de curvatura para superfícies não diferenciáveis. Tome por exemplo um travesseiro. No corpo do travesseiro a curvatura gaussiana é nula, e temos quatro cones: um em cada extremidade. Para uma curva fechada em torno do ponto singular de um cone, o ângulo de holonomia é dado por: