Generalización de la derivada clásica a derivada de orden arbitrario

El propósito de este artículo fue desarrollar un estudio analítico de la generalización de la derivada clásica de Newton-Leibniz al operador lineal de derivación de orden arbitrario de Riemann-Liouville sobre un intervalo finito [a, b] en el que se investigó la posibilidad y las consecuencias de dar valores reales al índice de n- iteraciones de este operador de derivación. Se empleó el método deductivo e inductivo en la que se demostró y ejemplificó el operador derivación de orden arbitrario. Como resultado, se generalizó la teoría básica de las diversas iteraciones de la derivada de orden ordinario, el uso de la función Euleriana y la integral de orden arbitrario, la cual fue base para formular la definición del operador lineal de derivación de orden arbitrario a partir de la n-ésima derivada iterada ordinaria de una función f:[a,b]→ℝ que tiene n-ésima derivada continua en [a, b] y se demostró la linealidad del operador de derivación de orden arbitrario ejemplificando las proposiciones de este operador generalizado, aplicado a la función potencia y logarítmica. Finalmente, mostraremos algunas soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden arbitrario con coeficiente constantes asociado a un determinado polinomio inicial.