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We give a general theory of generalised inverses and we explain the link withthe theory of finitely generated projective modules. All the paper is writtenin constrctive mathematics in Bishop style. So all results do have a clearalgorithmic content. We give also a complexity analysis of the algorihmscorresponding to the main theorems.  Here is a more detailed abstract in french: D'une part, nous d\'eveloppons lath\'eorie g\'en\'erale des inverses g\'en\'eralis\'es de matrices en la mettanten rapport avec la th\'eorie constructive des modules projectifs de type fini.D'autre part nous pr\'ecisons certains aspects de cette th\'eorie li\'es aucalcul formel et \`a l'analyse num\'erique matricielle. Nous d\'emontrons enparticulier qu'on peut tester si un $\bf A$-module de pr\'esentation finie estprojectif et calculer une matrice de projection correspondante "en tempspolynomial". Plus pr\'ecis\'ement pour une matrice $A\in {\bf A}^{m \times n}$on peut d\'ecider s'il existe un inverse g\'en\'eralis\'e $B$ pour $A$ (i.e.une matrice $B$ v\'erifiant $ABA=A$ et $BAB=B$) et, en cas de r\'eponsepositive, calculer un tel inverse g\'en\'eralis\'e par un algorithme quiutilise $O(p^6\,q^{2})$ op\'erations arithm\'etiques (avec $p=\inf(m,n)$,$q=\sup(m,n)$) et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un \'el\'ement\`a un id\'eal engendr\'e par "un petit nombre d'\'el\'ements".

Modules projectifs de type fini, applications lin\'eaires crois\'ees et inverses g\'en\'eralis\'es