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Cet exposé est consacré à l’étude des valeurs aux points entiers s ≥ 2 de la fonction ζ de Riemann, définie par ζ(s) = ∑ n≥1 n . Pour s pair, on a ζ(s) = csπ , où les cs sont des nombres rationnels liés aux nombres de Bernoulli. Cette formule était connue d’Euler. Or Lindemann a démontré en 1882 que π est transcendant (voir l’appendice de [8] pour une démonstration). Donc ζ(s) est transcendant pour tout entier s pair. En ce qui concerne les entiers s impairs, on ne connâıt pas d’analogue de la formule d’Euler, et on conjecture qu’il n’y en pas (pour un énoncé précis, voir la conjecture 1 ci-dessous). La nature arithmétique des valeurs de ζ aux entiers impairs est beaucoup plus difficile à déterminer. Le premier résultat dans cette direction date de 1978 :

publications mathématiques de l'université de franche-comté besançon. algèbre et théorie des nombres/publications mathématiques de besançon. algèbre et théorie des nombres

Mesures d’irrationalité de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> et <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>

Mesures d’irrationalité de ζ(2) et ζ(3)