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— In a series of papers, we constructed large families of normal numbers using the concatenation of the values of the largest prime factor P (n), as n runs through particular sequences of positive integers. A similar approach using the smallest prime factor function also allowed for the construction of normal numbers. Letting ω(n) stand for the number of distinct prime factors of the positive integer n, we then showed that the concatenation of the successive values of |ω(n)− blog log nc| in a fixed base q ≥ 2, as n runs through the integers n ≥ 3, yields a normal number. Here we prove the following. Let q ≥ 2 be a fixed integer. Given an integer n ≥ n0 = max(q, 3), let N be the unique positive integer satisfying q ≤ n < qN+1 and let h(n, q) stand for the residue modulo q of the number of distinct prime factors of n located in the interval [log N, N ]. Setting xN := e , we then create a normal number in base q using the concatenation of the numbers h(n, q), as n runs through the integers ≥ xn0 . Résumé. — Dans une série d’articles, nous avons construit de grandes familles de nombres normaux en utilisant la concaténation des valeurs successives du plus grand facteur premier P (n), où n parcourt certaines suites d’entiers positifs. Une approche similaire en utilisant la fonction plus petit facteur premier nous a aussi permis de construire d’autres familles de nombres normaux. En désignant par ω(n) le nombre de nombres premiers distincts de n, nous avons montré que la concaténation des valeurs successives de |ω(n) − blog log nc| dans une base fixe q ≥ 2, où n parcourt les entiers n ≥ 3, donne place à un nombre normal. Ici, nous démontrons le résultat suivant. Soit q ≥ 2 un entier fixe. Étant donné un entier n ≥ n0 = max(q, 3), soit N l’unique entier positif satisfaisant q ≤ n < qN+1 et désignons par h(n, q) le résidu modulo q du nombre de facteurs premiers distincts de n situés dans l’intervalle [log N, N ]. En posant xN := e , nous créons alors un nombre normal dans la base q en utilisant la concaténation des nombres h(n, q), où n parcourt les entiers ≥ xn0 . Mathematical subject classification (2010). — 11K16, 11N37, 11N41.

publications mathématiques de l'université de franche-comté besançon. algèbre et théorie des nombres/publications mathématiques de besançon. algèbre et théorie des nombres

The number of large prime factors of integers and normal numbers