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On montre que la geometrie de Hilbert d'un domaine convexe de R n est a geometrie locale bornee c-a-d que pour un rayon fixe, toutes les boules sont bilipschitz a un domaine de R n euclidien. On en deduit que si la geometrie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre que la reciproque n'est pas vraie pour les geometries de Hilbert non planes.

Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée