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Soient F un corps de nombres et ○F l'anneau des entiers de F. Pour un nombre premier fixe p et i > 2, les noyaux sauvages etales WK 2i-2 et (F) sont definis comme etant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie etale de spec ○F [1/p a coefficients dans le i-eme tordu de Tate de Zp. Ces groupes sont finis et coincident, pour i = 2, avec la partie p-primaire du noyau sauvage classique W K 2 (F). Ces noyaux sauvages W K 2i-2 et (F) jouent des roles symetriques aux p-parties du groupe des classes de F. Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique L/F est decrite par la formule des classes ambiges donnee par la theorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu'on maitrise difficilement est l'indice normique [U' F : U' F n N L/F (L * )] pour les p-unites U' F . Le but principal de cet article est l'etude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages: Etant donnee une extension cyclique L/F de degre p de groupe de Galois G, on montre que l'application de transfert WK 2i-2 et (L) G → W K 2i-2 et (F) est surjective sauf dans un cas tres particulier, puis on realise son noyau comme le conoyau d'un certain cup-produit a valeurs dans un groupe de Brauer. La methode permet egalement d'obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue a celle des classes ambiges ou les p-unites U' F sont remplacees par les groupes de K-theorie impairs. Lorsque p est impair, cette formule permet de trouver toutes les p-extensions de Q pour lesquelles la p-partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour p > 5, elles s'averent etre celles qui sont contenues dans la Zp-extension cyclotomique de Q.

Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation