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Soit (M, ci;) une variété munie d'une 2-forme symplectique a; (toutes deux C°°), i.e. a; est non-dégénérée sur chaque espace tangent (kerci; = 0) et fermée (duj = 0). D'après le théorème de Darboux [Ar], il existe au voisinage de tout point de M des coordonnées (a?i , î / i , . . . ^Xn^y-n) (centrées en ce point) dans lesquelles la forme en question s'écrit uj = dx\ A dy\ 4-. . . dxn A dyn = ûL;o. Comme le sous-groupe Sp(2n,R) C GL(2n,R) préservant ù;o agit transitivement sur R — 0, on voit que le pseudogroupe Ps(o;) des difféomorphismes locaux de M préservant uj agit transitivement sur rM—0, et a fortiori sur P(TM), fibre des directions tangentes à M. Autrement dit, si X, Y sont deux vecteurs tangents non nuls à M, il y a un difféomorphisme local préservant uj et dont l'application tangente envoie X sur Y (resp. sur un multiple de Y).

Une caractérisation des formes symplectiques