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Nous considerons une fonction holomorphe de plusieurs variables complexes dans un domaine strictement pseudo convexe. La formule de Cauchy-Fantappie etablie par Leray permet de l'exprimer par une integrale sur un cycle dans chaque ouvert strictement convexe dont l'adherence est contenue dans ce domaine. Nous approchons localement le domaine d'holomorphie de la fonction par une famille d'ouverts bornes strictement convexes. Nous la decomposons alors en somme d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point de la frontiere de cet ouvert, et d'une fonction holomorphe dans l'ouvert pres de ce point; cette derniere fonction peut s'exprimer dans chaque ouvert de la famille par une integrale du type de Cauchy-Fantappie, mais sur une partie seulement de ce cycle. Nous etudions ensuite le probleme de Cauchy pour un operateur differentiel lineaire a coefficients holomorphes au voisinage d'un point de la frontiere d'un domaine strictement pseudo convexe dans lequel les donnees de Cauchy sont holomorphes. Nous etablissons que sous une hypothese de multiplicite constante des racines de l'equation caracteristique, la solution du probleme de Cauchy peut se decomposer en somme de fonctions : la 1ere est holomorphe dans un voisinage de ce point, et chacune des autres est holomorphe dans la partie de ce voisinage rencontrant le domaine qui est delimitee par une hyper surface reelle caracteristique issue de la frontiere de celui-ci. Dans un autre article, ecrit en commun avec MM. Jean vaillant et Claude Wagschal, nous determinons les singularites de les solutions du probleme de Cauchy a donnees ramifiees pour des caracteristiques de multipicite variable double ou triple en involution.

Un domaine d'holomorphie de la solution d'un problème de Cauchy homogène