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Classiquement, des inegalites de Hardy permettent d'estimer le trou spectral d'une diffusion reelle a un facteur 4 pres. L'objectif de ce papier est d'essayer de mieux apprehender cette constante fluctuante, du moins dans un contexte symetrique. Notamment on donnera un critere asymptotique simple assurant qu'elle vaut exactement 4. L'argument sous-jacent consiste a voir le trou spectral comme une fonctionnelle semi-explicite et surtout monotone en un rearrangement des donnees du probleme. Pour l'exhiber, on aura recours a des proprietes de regularite de la constante de Poincare correspondante et on fera certains liens avec les methodes de chemins, les premieres valeurs propres de Dirichlet, les equations de Sturm-Liouville et les fonctionnelles browniennes, la plupart ayant deja ete observes par divers auteurs. Enfin on etendra les resultats obtenus au cas des processus de vie et de mort sur $\ZZ$, mais toujours dans un cadre symetrique. Notre espoir est que cette demarche pourra s'adapter pour permettre d'appliquer finement les constantes de Hardy a des inegalites fonctionnelles plus ardues que celle de Poincare.

Quand est-ce que des bornes de Hardy permettent de calculer une constante de Poincaré exacte sur la droite ?