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In this work proposes a multifractal model based on a multiplicative cascade in the wavelet domain, to synthesize network traffic samples. For this purpose, in the proposed model, a parametric modeling based on an exponential function is used for the variance of the multipliers along the stages of the cascade. The exponential function parameters are obtained through the solution of a non-linear system, for this purpose, the Levenberg-Marquardt method is used. The main contribution of the proposed algorithm is to use a fixed and reduced number of parameters to generate network traffic samples that have characteristics such as self-similarity and wide Multifractal Spectrum Width (MSW) similar to the real network traffic traces. Resumo. Este trabalho propõe um modelo multifractal baseado em uma cascata multiplicativa no domı́nio wavelet, para sintetizar amostras de tráfego de redes. No modelo proposto, utiliza-se uma modelagem paramétrica baseada em uma função exponencial para a variância dos multiplicadores ao longo dos estágios da cascata. Os parâmetros da função exponencial são obtidos através da solução de um sistema não linear, para este fim, utiliza-se o método de Levenberg-Marquardt. A principal contribuição do algoritmo proposto é utilizar um número fixo e reduzido de parâmetros para gerar amostras de tráfego de redes que apresentem caracterı́sticas como autossimilaridade e ampla Largura de Espectro Multifractal (MSW) similares as séries reais de tráfego de redes. 1. Introdução Os fluxos de redes de computadores podem englobar diferentes protocolos e conteúdos provenientes de diversas tecnologias de acesso ao meio de comunicação. A heterogeneidade dessas redes proporciona um comportamento de tráfego variável, com presença de rajadas difı́ceis de serem previstas. A melhoria no desempenho das redes de comunicações tem sido alvo de pesquisas constantes, e muitos são os trabalhos propondo modelos para descrição do tráfego de redes [Riedi et al. 1999,Krishna et al. 2003,Millán and Lefranc 2015, Tuberquia-David et al. 2016, Grandemange et al. 2017]. Dentre os modelos existentes para a caracterização do tráfego de redes de comunicações, modelos autossimilares e multifractais têm recebido grande atenção devido aos seus desempenhos em termos de análise e modelagem relacionados ao tráfego real de redes. Os modelos multifractais baseados em cascatas multiplicativas podem ser mais precisos e abrangentes quando aplicados ao controle do tráfego [Feldmann et al. 1998], [Vieira and Lee 2010], já que em situações práticas o grau de autossimilaridade do tráfego é variante com o tempo, o que não ocorre em modelos Gaussianos e monofractais, reduzindo o horizonte de aplicação destes modelos. Estas propriedades de séries temporais, que vão além daquelas descritas pelos fractais, influenciaram o surgimento de propostas baseadas em multifractais. Desta forma, com uma caracterização do tráfego mais detalhada utilizando análise multifractal, espera-se obter melhores estimativas para a modelagem do tráfego de redes de comunicações. No entanto, os modelos multifractais podem ser complexos e suas aplicações práticas podem ser limitadas pelo número de seus parâmetros, que geralmente é alto e dependente do número de amostras de tráfego de redes que se deseja modelar. Neste trabalho propõe-se um modelo multifractal baseado em um número reduzido (quando comparado a outros modelos presentes na literatura) e fixo (não dependente do número de amostras de tráfego a ser modelado) de parâmetros. O restante do artigo está organizado da seguinte forma: a Seção 2 apresenta uma breve descrição da análise multifractal aplicada ao tráfego de redes; a Seção 3 apresenta alguns dos modelos multifractais presentes na literatura; na Seção 4 é proposto o modelo multifractal proposto baseado na caracterização da variância dos multiplicadores de uma cascata multiplicativa no domı́nio wavelet; na Seção 5 é avaliada a eficiência do modelo proposto em comparação a outros modelos presentes na literatura: βMWM (Multifractal Wavelet Model) [Riedi et al. 1999], VVGM (Variable Variance Gaussian Model) [Krishna et al. 2003] e MFHSW (MultiFractal Hurst Spectrum Width) [Tuberquia-David et al. 2016], utilizando dados reais; na Seção 6 são apresentadas as conclusões obtidas. 2. Análise Multifractal do Tráfego de Redes Fractais são objetos geométricos que possuem uma forma irregular que persiste em várias resoluções de observação [Mandelbrot 1990], como mostra a Figura 1. A maioria dos sinais fractais conhecidos possuem caracterı́sticas como a autossimilaridade. O conceito de autossimilaridade está associado aos objetos cuja forma não muda em decorrência da mudança de escala, caracterı́stica esta que pode influir, por exemplo, no desempenho do tráfego de redes [Vieira and Lee 2010]. Figura 1. Fractal baseado no conjunto de Mandelbrot [CODERS 2020]. O parâmetro de Hurst (H) mede o grau de autossimilaridade do processo com caracterı́stica fractal, onde H está contido no intervalo (0 < H < 1, 0). Convém ressaltar que no caso de processos assintoticamente autossimilares restringindo-se o parâmetro de Hurst ao intervalo (0, 5 < H < 1, 0), autossimilaridade implica em longa dependência. Assim, diz-se que processos autossimilares com H > 0, 5 apresentam dependência de longa duração; isto significa que a função de autocorrelação (ACF – Autocorrelation Function) do processo apresenta decaimento hiperbólico [Abry and Veitch 1998]. A autossimilaridade introduz dificuldades na otimização do desempenho da rede e na garantia de qualidade de serviço (QoS), podendo causar impactos significativos como aumento da latência e da taxa de perda de pacotes. Um conceito relacionado à autossimilaridade é o de distribuição de cauda pesada (heavy tail) onde a densidade de probabilidade dos processos de tráfego decai lentamente [Park and Willinger 2000]. Quanto mais o tráfego de uma rede apresenta caracterı́sticas de uma distribuição de cauda pesada, mais os valores de parâmetros de QoS dessa rede são degradados, [Rocha 2011]. Assim como os fractais, os multifractais são utilizados em muitas áreas como análise de fenômenos naturais como terremotos [Barman et al. 2015], processamento e decomposição de sinais [Mallat 2008] e modelagem de tráfego de redes de computadores [Riedi et al. 1999], [Krishna et al. 2003], [Tuberquia-David et al. 2016]. Na análise multifractal verifica-se o comportamento em escala de momentos estatı́sticos dos processos para estimar suas regularidades locais [Feldmann et al. 1998], [Riedi et al. 1999]. Através de ferramentas da análise multifractal algumas propriedades encontradas em processos reais podem ser verificadas. O tráfego de redes, por exemplo, ao ser considerado multifractal significa que possui uma estrutura de forte dependência inerente entre as amostras, com incidência de rajadas em várias escalas [Riedi et al. 1999]. Processos multifractais são definidos a seguir, [Vieira et al. 2012]. Definição 2.1. Um processo estocástico X(t) é multifractal se satifaz a equação: E (|X(t))|) = c(q)t, (1) onde t ∈ T e q ∈ Q são intervalos na reta real, τ(q) e c(q) são funções no domı́nio Q. Normalmente, assume-se T eQ tenham comprimentos positivos, e que 0 ∈ T , [0, 1] ⊆ Q. A Definição 2.1 permite que “multifractalidade” seja descrita em termos de momentos, onde τ(q) é a função de escala e c(q) é o fator de momento de um processo multifractal. Caso τ(q) seja linear em q o processo é dito ser monofractal, caso contrário, é multifractal [Riedi et al. 1999], [Park and Willinger 2000], [Vieira et al. 2012]. 3. Trabalhos Relacionados O modelo multifractal MWM é baseado em uma cascata multiplicativa no domı́nio wavelet [Riedi et al. 1999], tendo sido recentemente utilizado para a modelagem do tráfego de redes [Tuberquia-David et al. 2016]. No MWM, a variável Uj,k representa os coeficientes de escala; Wj,k representa os coeficientes wavelets e Aj,k representa os multiplicadores da cascata multiplicativa; o ı́ndice j representa o estágio da cascata (também chamado de escala) e k é o instante de tempo dentro da escala j. Para se gerar um processo segundo o modelo MWM é preciso aplicar a transformada wavelet discreta (DWT – Discrete Wavelet Transform) ao tráfego de redes, calcular os momentos de segunda ordem dos coeficientes wavelet (Wj,k) em cada escala da cascata, a média e a variância dos coeficientes de escala (Uj,k) na escala de menor resolução e calcular ρj , variável usada para capturar o decaimento de energia dos coeficientes wavelet (Wj,k) em função da escala j. A Figura 2 ilustra como é construı́da a cascata multiplicativa no domı́nio wavelet a partir dos parâmetros descritos anteriormente.

Método de Estimação de Parâmetros para Modelagem no Domínio Wavelet do Tráfego de Redes de Computadores Usando o Algoritmo de Levenberg-Marquardt