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Otimizacao, direta ou indiretamente, e um tema muito presente no dia a dia academico e industrial. Varios campos da ciencia fazem uso das ferramentas de otimizacao com o objetivo de ajudar na tomada de decisao. Dentre eles, pode-se citar, agricultura, financas, transporte, processos quimicos, produtivos, recursos naturais, ambientais e energeticos, entre outros [1], [6]. Nesse processo, o objetivo e minimizar os maximizar certa variavel, como o custo ou o lucro em determinado processo. Mais formalmente, pode-se dizer que otimizacao consiste em encontrar pontos de minimo ou de maximo de uma funcao real sobre um conjunto de restricoes. Isto pode ser expresso da seguinte forma: min f(x) sujeito a gi(x)  ai, i  1, 2, . . . , p (1) hj(x)  bj , j  1, 2, . . . , n (2) x  0 onde x e um vetor n-dimensional, f(x) e o funcional objetivo, gi(x) sao restricoes expressas por igualdade, hj(x) sao restricoes expressas por desigualdades e ai e bj sao constantes. Problemas de otimizacao sao classificados conforme a forma de f(x). Nesse contexto, se f(x) nao for linear e/ou as restricoes forem nao lineares, tem-se o caso da programacao nao linear. Alem disso, quando as restricoes (1) e (2) sao incluidas, tem-se problemas de otimizacao com restricoes, caso contrario, tem-se problemas de otimizacao sem restricoes. Neste trabalho sera estudado problemas onde todas as funcoes usadas para defini-los sao continuamente diferenciaveis e, normalmente, nao lineares, isto e, o problema de programacao nao linear (PNL). O caso particular abordado e o problema irrestrito, ou seja, problemas de otimizacao sem restricoes. O problema irrestrito pode ser considerado simples, em comparacao aos demais problemas de PNL, e o estudo de suas propriedades, bem como dos metodos que o resolvam, e de fundamental importância em otimizacao, uma vez que muitos metodos de resolucao de PNL fazem uso dos metodos que resolvem o caso irrestrito [2]. Para a obtencao da solucao de um problema como o descrito acima, pode-se utilizar uma condicao necessaria de otimalidade, a qual permite a obtencao de uma candidata a solucao analitica para o problema e, portanto, exata. Porem, em muitos casos, se torna dificil e ate mesmo impraticavel, obter uma candidata a solucao analiticamente devido a complexidade das expressoes envolvidas. Em casos como bolsista de Iniciacao Cientifica UTFPR †bolsista de Iniciacao Cientifica UTFPR esses, precisa-se utilizar metodos numericos, com os quais e possivel a obtencao de uma solucao aproximada. Neste trabalho sera estudado algumas situacoes que garantem a existencia de um minimizador e, em seguida, e discutido as condicoes de otimalidade para o problema de otimizacao irrestrita. Algumas referencias para este assunto sao [3], [5], [6] e [7]. Para a resolucao numerica do problema de PNL irrestrito sera utilizada uma das tecnicas mais conhecidas para minimizar uma funcao, o metodo classico do gradiente, tambem chamado metodo de Cauchy. O metodo do gradiente e um processo iterativo que a cada etapa faz uma busca na direcao do vetor gradiente da funcao objetivo no ponto corrente [4] e consiste em procurar o minimo na direcao de maior taxa de decrescimento da funcao objetivo a partir de uma solucao inicial x0. Como o nome implica, os metodos gradientes usam explicitamente informacao sobre a derivada para gerar um algoritmo eficiente para localizar o ponto otimo. Uma das vantagens de metodos do tipo gradiente e que a informacao da derivada da funcao permite alcancar o extremo com menor numero de avaliacoes da funcao, ou seja, melhor eficiencia computacional. Assim, o metodo gradiente requer como entrada uma solucao inicial x0 e um procedimento que calcula o gradiente da funcao a ser maximizada (ou minimizada). Basicamente, o algoritmo pode ser descrito como um processo iterativo em que novos pontos xk1 sao gerados a partir do ponto atual xk: xk1  xk  kf(xk) (3) onde f(xk) e a direcao de busca linear, k representa o tamanho do passo a ser dado na direcao de busca e k e o numero de iteracoes. O algoritmo foi implementado em linguagem de programacao com apoio do software matematico MatLab. No algoritmo implementado, a determinacao do tamanho do passo k e deixado em aberto. Para validar os resultados, foram feitas comparacoes de diversos problemas de PNL da literatura, usando como metodo de resolucao o metodo do gradiente e o Optimization Toolbox do MatLab, o qual e uma colecao de funcoes que estendem a capacidade do Matlab em resolver problemas de otimizacao. Portanto, este trabalho apresenta o desenvolvimento teorico das condicoes de otimalidade para problemas de otimizacao, bem como, o estudo de metodos iterativos para obter as solucoes numericas.

Estudo de Problemas de Otimização Irrestrita via Método do Gradiente