English (United Kingdom)

https://curated-unify.zendy.io/wp-json/zendy-region/v1/featured_content/oa?rat=en

https://curated-unify.zendy.io/wp-json/zendy-region/v1/highlighted_journal/

Global: Zendy Plus annual

Presents the access of premium content as premium feature

Premium Content

Presents the keyphrase highlighting as premium feature

Keyphrase Highlighting

Presents the summarisation as premium feature

Summarisation

Insights

Presents the pdf analysis as premium feature

PDF Analysis

Presents the zaia usage as premium feature

ZAIA

Global: Zendy Tools annual

Global: Zendy Free Plan

Global: Zendy Tools monthly

Global: Zendy Plus monthly

Este trabalho trata da obtencao das solucoes analitica e numerica de um Problema de Valor de Contorno (PVC) para o problema de Deflexao de Vigas. Em particular, considera-se uma viga bi-apoiada de secao transversal retangular, de modo que as extremidades nao sofrem deflexao, com uma carga uniformemente distribuida sobre ela, como apresentada na Figura 1. Figura 1: Viga com extremidades apoiadas, sujeita a carga uniforme A Equacao Diferencial Ordinaria Linear que aproxima o caso a situacao fisica e dada por: d2w dx2 S EI w qx 2EI (x l), onde w(x) e a deflexao a uma distância x a partir da extremidade esquerda da viga, l representa o comprimento da viga, q a intensidade de carga uniforme a que esta submetida, E o modulo da elasticidade, S o esforco nas extremidades e I representa o momento de inercia central. Como nao ha deflexao nas extremidades da viga, vale as condicoes: w(0)  0 e w(l)  0. Para um estudo de caso, considera-se uma viga de aco com as seguintes caracteristicas: l  120pol, q  100lb/pe 100 12 lb/pol, E  3, 0 107lb/pol2 , S  1000lb e I  625pol4 . bolsista de Iniciacao Cientifica PICME, CNPq/Capes Obtem-se entao o Problema de Valor de Contorno (PVC) d2w dx2  1.0 · 10 4 1875 w 1.0 · 109 4.5 (x2  120x) w(0)  0 e w(120)  0 , cuja solucao analitica e dada por w(x)  c1e mx  c2e mx  c3x2  c4x  c5 , onde c1 ( 532 · 106)(1 e2· 3/125) e2· 3/125  e2· 3/125 , c2 ( 532 · 106)(e2· 3/125  1) e2· 3/125  e2· 3/125 , m 3 7500 , c3 1 240 , c4 1 2 e c5   5 32 · 106. Para obter a solucao numerica do PVC, foi aplicado o metodo das Diferencas Finitas, substituindo-se as derivadas da equacao pelas formulas de diferencas centrais [1] wi1 ( 2  h2 ( 1.0 · 104 1875 )) wi  wi1  h2 ( 1.0 · 109 4.5 ) (x2  120x) w0  0 e wN1  0 , obtendo um sistema linear de equacoes, para i variando de 1 ate N . Dividiu-se o intervalo [0, 120] (comprimento da viga) em 1200 subintervalos iguais, cujas extremidades sao os pontos da malha xi  ih, para i  0, ..., 1201, sendo h  0, 1 (passo), para os quais busca-se a aproximacao wi. Quanto mais discretizado o intervalo, mais precisas sao as aproximacoes. No entanto, tendo em vista o custo computacional e que a discretizacao aplicada foi suficiente para se obter um resultado satisfatorio, nao foi necessario um passo menor. A forma matricial do sistema gerado trabalha com uma matriz de coeficientes tridiagonal 1199 1199. O codigo em MATLAB a seguir implementa o metodo e resolve o sistema. Codigo 1: Solucao Numerica de um PVC com o Metodo de Diferencas Finitas syms x %w’’  p(x)w’  q(x)w  r(x), [a,b] dados  inputdlg ({’P: ’, ’Q: ’, ’R: ’, ’n: ’},’Dados ’); limites  inputdlg ({’a: ’, ’f(a): ’, ’b: ’, ’f(b): ’},’PVC’); passo  (str2num(limites {3}) - str2num(limites {1}))/str2num(dados {4}); xVector  str2num(limites {1}) : passo : str2num(limites {3}); %Sistema matricial: Aw  d. Obtendo a matriz tridiagonal A: a(1)  2  (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector (2)); %diagonal principal b(1)  -1  (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector (2)); %diagonal superior d(1)  -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector (2))  ((1  (passo /2)*subs( dados {1},x,xVector (2)))*str2num(limites {2})); for i  2: length(xVector)-3 a(i)  2  (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector(i1)); b(i)  -1  (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i1)); c(i)  -1 - (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i1)); %inferior d(i)  -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector(i1)); end a(i1)  2  (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector(i2)); c(i1)  -1 - (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i2)); d(i1)  -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector(i2))  ((1 - (passo /2)*subs (dados{1},x,xVector(i2)))*str2num(limites {4})); %Fatoracao LU l(1)  a(1); u(1)  b(1)/a(1); z(1)  d(1)/l(1); for i  2: length(xVector)-3 l(i)  a(i) - (c(i)*u(i-1)); u(i)  b(i)/l(i); z(i)  (d(i) - (c(i)*z(i-1)))/l(i); end l(i1)  a(i1) - (c(i1)*u(i)); z(i1)  (d(i1) - (c(i1)*z(i)))/l(i1); %Resolvendo o sistema w(1)  str2num(limites {2}); w(length(xVector))  str2num(limites {4}); w(length(xVector) -1)  z(length(xVector) -2); for i  length(xVector) -2: -1 : 2 w(i)  z(i-1) - (u(i-1)*w(i1)); end A Figura 2 apresenta os graficos de ambas as solucoes. Figura 2: Solucoes Graficas Com as solucoes graficas fica visivel a proximidade entre os resultados. A Tabela a seguir exemplifica alguns dos valores encontrados, tambem para facilitar a comparacao entre as solucoes. xi w(xi) wi Erro absoluto Erro percentual 0 0 0 0 0 20 0.0006073605 0.0006073609 0.4 0.0000658587 40 0.0010428818 0.0010428824 0.6 0.0000575329 60 0.0011999063 0.0011999070 0.7 0.0000583379 80 0.0010428818 0.0010428824 0.6 0.0000575329 100 0.0006073605 0.0006073609 0.4 0.0000658587 120 0 0 0 0 Tabela 1: Resultados e Erros Pode-se concluir, pela ordem de magnitude dos erros, que ficou entre 0.00005% e 0.00007%, a eficacia do metodo numerico.

Solução do Problema de Deflexão de Vigas com o Método das Diferenças Finitas