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O presente trabalho trata de uma abordagem para encontrar uma equacao cuja solucao se aproxima do numero de ouro, pautada na aplicacao do metodo de Newton-Raphson (N-R). Especificamente, busca-se o unico valor real positivo para a seguinte equacao 012  xx . O encaminhamento para o estudo da aproximacao, tambem se fez por meio do programa R, dado a precisao dos valores, sendo que a escolha do metodo de N-R deve-se a sua rapida convergencia nesse caso. O numero de ouro representado pela letra grega   (phi), caracteriza-se pela sua autopropagacao, ou seja, esta presente em diversas areas do conhecimento [5]. E um numero irracional sendo convencional exibi-lo arredondado para tres casas decimais: 618,1 . Uma das aplicacoes de   na geometria e na solucao da equacao, 01  ff , que e obtida do fractal Arvore Aurea. Muitos fractais da natureza possuem como caracteristica principal a ramificacao, assim como essa Arvore, alguns desses sao obtidos considerando um processo de iteracao na qual inicialmente tem-se um ramo de uma unidade de comprimento, donde se obtem dois novos ramos de comprimento 2/1  com 120o, como na Figura 1. E assim aplicando esse fator de reducao 2/1  o processo continua indefinidamente. Figura 1 – Fractal Arvore. Figura 2 – Fractal com ramos sobrepostos. Fonte: Livio, 2002, p. 219. Em sistemas como o sistema circulatorio de sangue, pode interessar saber qual o fator de reducao que faz com que os ramos comecem a se sobrepor, como na Figura 2. Isto acontece para o fator de reducao 618,01 . A condicao para que dois ramos se toquem e que a soma de todos os comprimentos decrescentes dos ramos horizontais a partir de f  e igual ao componente horizontal do ramo de maior comprimento f . Segue que ...o30coso30coso30coso30coso30cos 654    . Ou seja, ... 654   * Docente da Universidade Tecnologica Federal do Parana (UTFPR) campus Toledo.  Observa-se do lado direito da equacao a soma de uma serie geometrica infinita, logo 11 1 1 fff f f f f . A equacao obtida, 01  ff , tem unica solucao real 2 15 , ou seja, 1  [4]. Note como obter a equacao 012  xx , cuja solucao real positiva e  . Considere um segmento AB de medida x (unidade), estipulando um ponto C qualquer pertencente ao segmento AB obtemos dois novos segmentos AC e CB. O ponto C pode ocupar infinitas posicoes, contudo, so “existe uma unica posicao – posicao de ouro – onde este ponto C divide o segmento AB em dois segmentos proporcionais, tal que o quociente entre as medidas do segmento todo pela parte maior e igual ao quociente entre as medidas da parte maior com a parte menor” [1]. Estipulando a medida de AC igual a a e a de CB igual a ax  , dado que AB mede x, a posicao de ouro sera obtida de ax a a x  Assim, reescreve-se a equacao obtida: 0)(  aaxxaaxx . Veja que a solucao e 2 )51( a , mas desconsidera-se a solucao negativa. O numero 2 51 e o valor de  , assim ao fazer a1 temos a equacao a qual procuramos.  Nesse contexto, poderiamos determinar a raiz da equacao 01  xx  por meio da formula de Bhaskara tambem, contudo, nosso objetivo e pautar-se em metodos mais avancados, e como essa equacao e polinomial, sera de facil compreensao para o leitor acompanhar o desenvolvimento do metodo estipulado para o presente texto.  O metodo de Newton-Raphson (N-R) consiste em um processo iterativo para a determinacao de raizes de funcoes nao lineares [1]. Para utilizacao do metodo faz-se necessario analisar a funcao em questao e sua derivada em um determinado ponto, ou seja, se a funcao apresentar-se simples para derivar, esse metodo e apropriado. Para sua aplicacao e preciso admitir um chute inicial ix para o valor da raiz procurada, determinando a reta tangente a funcao nesse ponto  )(, ii xfx . Assim o ponto onde essa tangente cruzar o eixo das abcissas e uma estimativa da raiz – Figura 3. Figura 3 – Descricao grafica do metodo de N-R Fonte: Elaborada pelo autor Observando a interpretacao geometrica na Figura 3, pode-se escrever a seguinte equacao 1 0)( )(' ii i i xx xf xf . Reorganizando a mesma temos )(' )( 1 i i ii xf xf xx  , a qual e chamada de formula de Newton-Raphson [3]. Para que possamos aplicar o metodo, se faz necessario verificar a convergencia do mesmo, para poder prosseguir com os calculos. Para tanto, considere o teorema: seja ],[ baf  . Se ],[ bax  tal que 0)( xf  e 0)( xf , entao existe um 0 , tal que o metodo de N-R gera uma sequencia 0}{ nnx   que converge para x  para qualquer aproximacao inicial ],[0   xxx 1 [2]. Como a 1)( 2  xxxf , a convergencia esta garantida. O metodo de Newton-Raphson e tambem um metodo iterativo assim como a maioria dos metodos numericos, para isso e necessario estipular um erro maximo que determinara o criterio de parada das iteracoes a serem realizadas. O erro ( ) e dado calculando a f do valor encontrado na iteracao, e esse valor devera ser menor que o erro desejado para que se encerre o processo de iteracoes. O chute inicial e dado de forma que a convergencia seja mais rapida e pode ser dado com base no grafico da equacao, no entanto se o chute for muito distante da raiz, a quantidade de iteracoes sera muito maior. Na equacao onde a solucao e o numero de ouro temos 12)('1)(  xxfxxxf ii . Admitindo um erro de aproximacao para essa raiz de 1,0 e um chute inicial para ix  de 1,2 temos 742857143,1 1)2,1(2 12,1)2,1( 2,11 ix Calculando o erro ( ), obtemos 294693878,0)742857143,1( f , o qual e maior do que o erro permitido, e portanto e necessario continuar com as iteracoes. Assim, admitimos 1,742857143 para ix , para continuar as iteracoes. Resumidamente obtermos o seguinte: Tabela 1: resultados das iteracoes ix  1ix 1,2 1,742857143 0,294693878 1,742857143 1,624302135 0,014055290 1,624302135 1,618051462 0,000390710 1,618051462 1,618033989 0,1 Portanto, a solucao aproximada para a equacao e 1,618033989. Em comparacao, obtem-se a solucao pelo software R, o qual apresenta como resultado 1,618034.  O metodo de Newton Raphson e eficiente para encontrar uma aproximacao da raiz da equacao 01  xx . Mediante a proposta apresentada, observa-se a convergencia para o valor aproximado do numero de ouro. Lembrando que, uma das caracteristicas marcantes do metodo de N-R em relacao a outros metodos numericos e acelerar o processo de convergencia, ou seja, menor numero de iteracoes.

O Número de Ouro via Método de Newton-Raphson