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El proposito de esta tesis se enmarca dentro del campo de la optica no lineal y, como el problema es formalmente identico, tiene aplicacion directa en el campo de la materia condensada, en particular en los condensados de Bose-Einstein. El objetivo es obtener una nueva herramienta teorica que permita analizar la dinamica de una solucion no lineal estacionaria sometida a una perturbacion pequena. Nos centraremos en soluciones que llenen todos los nodos de la red, y, por lo tanto, que tienen simetria traslacional en el caso periodico y son aperiodicas en el caso cuasiperiodico. El punto de partida es la ecuacion de Schrodinger no lineal (ESNL) y obtenemos las ecuaciones efectivas para la envolvente de la solucion en el regimen de bajas energias, es decir, bajo la aproximacion de que las variaciones son suaves en comparacion con el espaciado de la red, tanto en potenciales periodicos como cuasiperiodicos, e intentamos llenar el vacio teorico existente en el ultimo caso. Estas ecuaciones describen la dinamica, a bajas energias o largo alcance, de la envolvente de la solucion no lineal. El primer paso es la obtencion de las ecuaciones discretas de la ESNL, es decir, las ecuaciones que se obtienen como consecuencia de la expansion del campo en funciones localizadas sobre la red. Se hace uso de la base de funciones de Wannier solucion del problema no lineal estacionario, en lugar de la aproximacion clasica que utiliza como base las funciones de Wannier lineales. Se introduce el concepto de envolvente para analizar el comportamiento del sistema en las proximidades de la solucion no lineal. Pasamos al continuo haciendo el limite cuando el espaciado de la red tiende a 0. Se demuestra que la ecuacion efectiva que se obtiene es libre de potencial. En el caso cuasiperiodico, el marco de la geometria no conmutativa resultara ser la herramienta adecuada para tratar el problema y se prueba que se puede obtener un resultado equivalente si consideramos un espacio no conmutativo con el doble de dimensiones.

Equacions efectives de l'equació de Schrödinger no lineal en sistemes periòdics i quasiperiòdics