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Si X est une variété complexe de dimension N , il y a deux méthodes “classiques” pour construire des fonctions holomorphes sur Cq(X), l’espace des qcycles compacts de X. La première, due à A. Andreotti et F. Norguet, consiste à intégrer des (q, q)classes de cohomologie sur les q-cycles; elle a été introduite dans [AN67]. C’est une méthode “cohomologique” et elle a l’avantage de produire beaucoup de telles fonctions en présence d’une hypothèse de q-convexité forte (ici 0-complet=Stein) grâce au théorème de finitude d’Andreotti-Grauert. La seconde méthode, initiée dans [Ba78] est indirecte, puisqu’elle consiste essentiellement à déduire d’une exhaustion q-convexe sur X une exhaustion 0-convexe sur Cq(X). La réciproque du problème de Levi donnant alors l’existence des fonctions holomorphes voulues. Nous nous proposons d’introduire ici une troisième méthode, plus géométrique, consistant à couper les q-cycles par un sous-ensemble analytique fermé Y de codimension q sur lequel il y a beaucoup de fonctions holomorphes (par exemple, un sous-ensemble fermé de Stein). La trace d’une telle fonction holomorphe calculée sur l’intersection (finie) du q-cycle γ avec Y donnera la valeur en γ de la fonction holomorphe désirée. En fait, la considération de la classe fondamentale de Y permet assez facilement de voir que l’on construit ainsi des (q, q)-classes de cohomologie que l’on intègre sur les q-cycles. On est donc plus ou moins ramené à la première méthode. Tout l’intérêt réside en fait dans l’origine géométrique des (q, q)-classes de cohomologie qui ont un caractère plus explicite et concret que les classes que l’on peut construire grâce à un théorème de finitude de la cohomologie. Nous obtenons d’ailleurs quelques résultats qui semblent échapper aux précédentes méthodes. Il est également intéressant de constater qu’une adaptation locale de cette méthode permet de donner une propriété de 0-convexité locale en un point du bord (correspondant à un cycle γ) d’un ouvert de la forme Cq(U), pour U ouvert relativement compact avec une propriété de q-convexité locale près des points du bord

Fonctions holomorphes sur l'espace des cycles: la methode d'intersection