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We first give a general growth version of the theorem of Bernstein–Walsh– Siciak concerning the rate of convergence of the best polynomial approximation of holomorphic functions on a polynomially convex compact subset of an affine algebraic manifold. This can be considered as a quantitative version of the well known approximation theorem of Oka–Weil. Then we give two applications of this theorem. The first one is a generalization to several variables of Winiarski’s theorem relating the growth of an entire function to the rate of convergence of its best polynomial approximation; the second application concerns the extension with growth of an entire function from an algebraic submanifold to the whole space. Introduction. Soit K un compact polynomialement convexe de C. D’après le théorème d’Oka–Weil, toute fonction f holomorphe sur un voisinage de K peut être approchée uniformément sur K par des polynômes. Le théorème de Bernstein–Walsh–Siciak ([Si,2]) est une version quantitative précise du théorème d’Oka–Weil qui exprime le degré de convergence de la meilleure approximation polynomiale de f sur le compact K à l’aide du niveau, par rapport à la fonction extrémale de Siciak de K, du plus grand domaine sur lequel f est holomorphe, pourvu que K soit régulier. Nous donnons ici une version générale à croissance du théorème de Bernstein–Walsh–Siciak qui généralise notre résultat antérieur dans deux directions. Tout d’abord, le théorème d’approximation que nous obtenons (théorème 3.2) s’applique aux fonctions holomorphes sur une variété algébrique affine lisse quelconque, ensuite l’approximation polynomiale a lieu sur un compact non pluripolaire quelconque de cette variété. Nous donnons enfin deux applications du théorème obtenu. La première est une généralisation du théorème classique de Winiarski ([Wi,1]) qui relie la rapidité de la meilleure approximation polynomiale d’une fonction entière 1991 Mathematics Subject Classification: 32A15, 32A22, 32D15, 32E30.

Approximation polynomiale et extension holomorphe avec croissance sur une variété algébrique