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L’étude des fonctions de répartition de fonctions arithmétiques possède un intérêt propre. Ainsi que le souligne Tenenbaum au paragraphe III.1.4 de [10], “l’une des spécificités de ces fonctions réside en effet dans la nature intrinsèquement irrégulière et erratique de leurs variations [. . . ] La théorie probabiliste des nombres répond au désir, naturel en une telle circonstance, d’entreprendre une étude statistique”. C’est la raison pour laquelle l’étude des fonctions de répartition a suscité un intérêt auprès de mathématiciens tels que Erdős, Schoenberg, Wintner, Diamond, Rhoads. La présente étude est motivée notamment par le fait que G est historiquement la première fonction de répartition qui a été étudiée dans la littérature, par Schoenberg [8] en 1928. Par la suite, le théorème d’Erdős–Wintner (1939), exposé dans [10] en III.4.1, pendant du théorème “des trois séries” de Kolmogorov en probabilités, fournit une caractérisation des fonctions arithmétiques additives comme multiplicatives, admettant une fonction de répartition, développant ainsi la théorie générale. Nous nous proposons de complèter ici la plupart des résultats connus sur le comportement de G. Nous montrons que l’étude du comportement de G(t) en tout point se ramène à l’étude au voisinage de t = 1. Celle-ci est effectuée dans [12] et nous référons le lecteur à cet article.

Module de continuité de la fonction de répartition de φ(n)/ n