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par défaut supposée quasi-projective, régulière et géométriquement connexe. Si B est une K-variété et L une extension de K, un L-revêtement de B est par défaut un L-morphisme fini, étale φ : C → B ⊗K L où C est une L-variété. Si ψ : D → B ⊗K L est un autre L-revêtement, un L-morphisme de revêtements est un L-morphisme de variétés κ : C → D tel que φ = ψ ◦κ. On appelle ∗-L-morphisme de L-revêtements de B un couple (κ, β) de Lmorphismes κ : C → D et β : B ⊗K L → B ⊗K L tels que β soit un L-isomorphisme et ψ ◦ κ = β ◦ φ. Fixons K une clôture algébrique de K. On définit la catégorie REV(B) des K-revêtements de B avec leurs K-morphismes. On définit aussi la catégorie REV∗(B) qui a les mêmes objets que REV(B) mais qui admet comme morphismes les ∗-K-morphismes de revêtements. Soient K un corps de nombres, K une clôture algébrique et B une Kvariété. Le groupe de Galois absolu de K, noté ΓK, agit fonctoriellement sur les catégories REV(B) et REV∗(B). Si O → Spec(K) est un objet et σ ∈ ΓK, l’objet σO → Spec(K) est défini comme le tiré en arrière de O → Spec(K) le long de Spec(σ) : Spec(K) → Spec(K) ; ceci est isomorphe à la composition O→ Spec(K) Spec(σ −1) −−−−→ Spec(K).

Des obstructions globales à la descente des revêtements