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Soit E une courbe elliptique sur un corps de nombres. Les propriétés des accouplements de Weil montrent que le corps Kn(E) engendré par les points de n-torsion de E est une extension du corps Q(μn) engendré par les racines n-ièmes de l’unité dans une clôture algébrique Q de Q. Soit S l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels il existe une courbe elliptique E telle que Kp(E) = Q(μp). Il est connu que l’ensemble S contient les nombres 2, 3, 5 et Halberstadt a prouvé que 7 n’est pas dans S. Merel a étudié plus avant cet ensemble. En particulier, il a montré avec Stein ([7], [9]) qu’aucun nombre premier p 6= 13, 7 < p < 1000, n’appartient à S. L’objet de ce papier est de traiter le cas p = 13, pour lequel les techniques de Merel ne s’appliquent pas. Nous démontrons le théorème suivant :

Corps engendré par les points de 13-torsion des courbes elliptiques