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. Soit x une indéterminée. De nombreux auteurs [1]–[4], [9] ont étudié des séries de Laurent, α(x) = ∑ h≥−h0 γh/x , à coefficients dans un corps k, dont le développement en fraction continue est normal. La notion de normalité d’une série de Laurent est due à D. E. Knuth [6] qui observe que le premier quotient complet de α(x) est de degré 1 si et seulement si γ1 6= 0, le deuxième quotient complet est de degré 1 si et seulement si γ2 2 − γ1γ3 6= 0, récursivement le nème quotient complet est de degré 1 si et seulement si un déterminant fonction de γ1, . . . , γn+1 est différent de zéro. On se propose dans une première partie de faire une étude un peu générale de la normalité dans le cadre des fonctions hyperelliptiques en caractéristique différente de 2. Le théorème de Mason, tel qu’il est énoncé dans [5], permet de considérer le cas de la caractéristique infinie comme la limite lorsque p tend vers l’infini du cas de la caractéristique finie. Grâce à ce théorème dans sa version en caractéristique infinie [7] et sa version en caractéristique finie [5], on montre qu’en caractéristique infinie et pour une large classe de fonctions, les degrés des quotients complets de ces fonctions sont majorés par une constante beaucoup plus petite que celle prévue par la théorie habituelle (cf. proposition 1) et que, en caractéristique finie, et pour ces mêmes types de fonctions, soit le résultat précédent tient, soit une certaine “équation de Pell” admet une solution non triviale (cf. théorème 1). Une conséquence de ce théorème est la suivante : si l’on prend k = Q, si on se donne une fonction quadratique α sur Q(x), si l’on considère sa réduction modulo p, notée α (ce que l’on peut faire pour p assez grand), si on s’intéresse à la longueur de sa quasi-période πp(α), alors, sous certaines hypothèses, on montre que πp(α) tend vers l’infini avec p.

Fractions continues normales dans un corps de fonctions hyperelliptiques