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Ce résultat, qui est le meilleur possible, ne donne pas de critère. Les autres résultats connus concernant ce problème d’Eisenstein ([5–8], [11], [12]) font aussi intervenir les développements en fraction continue des nombres √ D et (1 + √ D)/2. Le but de ce travail est d’obtenir un critère en considérant, au lieu des développements en fraction continue usuels, les développements en fraction continue à l’entier le plus proche des nombres √ D et (1 + √ D)/2. Le développement en fraction continue à l’entier le plus proche d’un nombre réel φ est défini par (1.2) φ0 = φ, φn = qn + εn/φn+1, qn ∈ Z, εn = ±1, φn+1 > 2, de sorte que qn est, pour tout n ≥ 0, l’entier le plus proche de φn. Si φ est un nombre irrationnel quadratique son développement est périodique à partir d’un certain rang ; soient L0 et L0 les longueurs respectives des périodes des

Développement en fraction continue à l'entier le plus proche, idéaux α-réduits et un problème d'Eisenstein