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Introduction. Soit θ un element de T1 = R/Z. Considerons la suite des multiples de θ, x = (nθ)n∈N. Pour tout n ∈ N, ordonnons les n+ 1 premiers termes de cette suite, {0 = y0 ≤ y1 ≤ . . . ≤ yn ≤ 1} = {pθ, p = 0, . . . , n}. La suite (y0, . . . , yn) decoupe l’intervalle [0, 1] en n + 1 intervalles qui ont au plus trois longueurs distinctes, la plus grande de ces longueurs etant la somme des deux autres. Cette propriete a ete conjecture par Steinhaus, elle est etroitement liee au developpement en fraction continue de θ. On peut aussi la demontrer directement [So]. Lorsque n = qk − 1, ou qk est le denominateur d’une reduite de θ, les intervalles n’ont que deux longueurs possibles, la plus grande etant inferieure au double de la plus petite. Ainsi, la distance du milieu d’un grand intervalle, a la suite (pθ)p≤n, est inferieure a la longueur d’un petit intervalle. Si θ est irrationnel, la suite (nθ)n∈N verifie donc la propriete suivante (avec c = 1) :

Distances dans la suite des multiples d'un point du tore à deux dimensions