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L’origine de l’étude de l’extension globale des fonctions CR remonte au théorème de Hartogs sur l’extension des fonctions holomorphes définies au voisinage du bord d’un domaine borné, à bord connexe régulier de C, n ≥ 2. Au début des années 1940, Bochner [Bo] et Martinelli [Ma 1] donnent indépendamment une démonstration rigoureuse de ce théorème. Plus précisément Bochner démontre que si D est un domaine borné à bord connexe de classe C∞ de C, n ≥ 2, toute fonction f de classe C∞ définie sur ∂D et vérifiant ∂̄bf = 0, s’étend en une fonction holomorphe sur D et C∞ sur D̄. De nombreux auteurs ont alors travaillé sur le sujet, citons entre autres Martinelli [Ma 2], qui a donné une expression intégrale du prolongement F de f , et Weinstock [W], qui a obtenu une caractérisation des fonctions f continues sur ∂D possédant la propriété d’extension holomorphe au domaine D tout entier. En 1972, Andreotti et Hill [An/Hi] ont montré que le résultat prouvé par Bochner reste vrai si on remplace C par une variété analytique complexe M vérifiant H c (M,O) = 0, et le cas où la donnée f est de classe C sur le bord du domaine a été résolu indépendamment par Čirka [Či] et Harvey et Lawson [Ha/La] en 1975. Vers le milieu des années 1980 ce problème d’extension globale des fonctions CR a été généralisé dans deux directions différentes. La première est de considérer des fonctions CR qui ne sont définies que sur une partie du bord du domaine. Les premiers résultats dans ce cadre ont été obtenus par Lupacciolu et Tomassini [Lu/To] puis par Lupacciolu [Lu]. Leurs travaux ont été ensuite généralisés par différents auteurs (cf. [St], [L-T], [L-T/L], [Lu 2]).

Phénomène de Hartogs-Bochner dans les variétés CR