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La teoria de wavelets ortonormales y su generalizacion a wavelet frames han demostrado ser herramientas utiles y potentes tanto en el ambito teorico como en las aplicaciones. Este trabajo presenta algunas aportaciones a dicha teoria y su aplicacion al procesamiento digital de imagen medica. El Capitulo 1 incluye una seleccion de los conceptos mas importantes de la teoria clasica de wavelets ortonormales, poniendo enfasis en la idea de analisis multirresolucion (MRA) (Seccion 1.2.1). Se definen los conceptos de funcion de escala, filtro asociado y wavelet multirresolucion, y se describe el algoritmo de transformada rapida (en cascada), pieza clave en las aplicaciones. Ademas, se muestran ejemplos de diversas wavelets ortonormales que verifican propiedades de interes, como soporte compacto, momentos nulos, etc. Dos operaciones son relevantes en la teoria de wavelets, las traslaciones y las dilataciones. Las formulas y algoritmos que se obtienen en este trabajo provienen del “analisis espectral” de estas operaciones. En el Capitulo 2 se construyen modelos espectrales y de tipo “shift” de los operadores de dilatacion y traslacion en espacios de Hilbert funcionales. Estos modelos dependen de bases ortonormales prefijadas de estructura adecuada (Seccion 2.1). Ademas, en estos modelos es posible obtener una descripcion de subespacios ambulantes e invariantes en terminos de funciones operador-valuadas rigidas y de rango (Seccion 2.2), necesaria para los desarrollos posteriores. En el Capitulo 3 se detalla la aplicacion de los conceptos introducidos en el Capitulo 2 a la teoria de wavelets ortonormales (Seccion 3.1) y analisis multirresolucion (Seccion 3.2). Se muestra, en particular, que es posible describir una wavelet ortonormal mediante una terna de funciones rigidas (Teorema 29), mientras que un analisis multirresolucion queda completamente determinado por un par de estas funciones (Teorema 33). Mas aun, un par doble de funciones rigidas determina una MRA-wavelet junto con la funcion de escala (Teorema 35). Fijadas las bases en los modelos espectrales del Capitulo 2, estos resultados dan lugar a condiciones que permiten “calcular” wavelets ortonormales (Teorema 30) y MRA-wavelets y funciones de escala (Teorema 38). En la Seccion 3.3 se describen los algoritmos computacionales para obtener MRA-wavelets y funciones de escala de soporte compacto que se derivan del Teorema 38 y la eleccion de tres bases concretas: la base de Haar (Corolario 42), la base de Walsh-Paley (Corolario 48) y la base trigonometrica (Corolario 57). Cabe destacar que los algoritmos obtenidos permiten calcular los coeficientes de las MRA-wavelets y funciones de escala en las correspondientes bases y no tan solo una aproximacion numerica de sus valores puntuales, como hacen los algoritmos hasta este momento conocidos (cascada, Daubechies-Lagarias, etc). De esta manera, las relaciones de recurrencia en dichos algoritmos determinan expresiones analiticas de estas funciones. En el Capitulo 4 se presenta el estudio de wavelet-frames mediante tecnicas espectrales. El resultado central es la “descomponibilidad” del operador frame en el modelo espectral asociado a las dilataciones (Teorema 61). Ademas, la estructura del modelo permite obtener expresiones concretas para las componentes y fibras del operador frame en el (Teorema 64). De estos resultados se deriva una descripcion manejable de los wavelet-frames ajustados (Corolario 65). En la Seccion 4.1.2, la eleccion de la base de Haar en los modelos espectrales y el Corolario 65 permiten determinar los wavelet-frames ajustados asociados a familias generadoras finitas de soporte minimal. La idea de interes que subyace en esta parte del trabajo es que cada familia generadora de este tipo esta asociada a una funcion operador-valuada interna en el espacio de Hardy de dimension el cardinal del sistema. Los casos de cardinal 1 y 2 se resuelven completamente. Cabe destacar que (en el caso de cardinal 1) la unica funcion generadora de un wavelet-frame ajustado de soporte minimal es la wavelet de Haar (Corolario 70). En el caso de cardinal 2 se encuentran cinco familias diferenciadas de pares de funciones generadoras (Corolario 77). La Seccion 4.2 estudia wavelet-frames asociados a funciones refinables y los Principios de Extension Unitario y Oblicuo inherentes a ellos (Seccion 4.2.2). La aplicacion de las tecnicas espectrales en este contexto muestra, entre otras cosas, que estos Principios son “condiciones de Lawton generalizadas” (Teoremas 100 y 121). Estos resultados permiten el analisis desde una nueva perspectiva de la teoria clasica de MRA-wavelets ortonormales (Corolario 106, Teorema 108 y observaciones adyacentes) y de la relacion entre ambos Principios (Seccion Relaciones entre OEP y UEP). El Capitulo 5 muestra la aplicacion de los wavelet frames ajustados de soporte minimo al ambito de la eliminacion de ruido en imagenes de resonancia magnetica. Para ello se define un filtro por contraccion probabilistica (basado en probabilidades condicionadas) (Seccion 5.2). La optimizacion de dicho filtro se realiza mediante el uso de wavelet-frames ajustados (Seccion 5.2.2) que optimicen la diferenciacion de las distribuciones de ruido y detalle (Seccion 5.2.1). Estas distribuciones se modelan mediante Gaussianas Generalizadas, para las cuales el parametro β se prefija (Seccion 5.2.1). Ademas, la estimacion de los parametros involucrados se realiza mediante el metodo de Expectacion Maximizacion (Seccion 5.2.3), lo cual elimina la necesidad de estimadores externos. La eficiencia del filtro propuesto se comprueba mediante comparacion con otros filtros (Seccion 5.1) de eficiencia demostrada en senales simuladas y reales (Seccion 5.3). Finalmente, el Capitulo 6 utiliza el algoritmo de Haar para wavelets ortonormales, mostrado en la Seccion 3.3, a la hora de proponer un metodo de analisis de imagenes de resonancia magnetica funcional. Este algoritmo se utiliza para calcular la funcion de escala que minimice la diferencia entre la dilatada de la funcion modelo de respuesta hemodinamica y una combinacion lineal de dicha funcion de escala y su trasladada una unidad (Seccion 6.2.1). Con esto, se define el metodo de analisis de senales de resonancia magnetica funcional (Seccion 6.2) basado en la descomposicion wavelet temporal de la senal en cada punto (Seccion 6.2.4) a escala dos, desechando los coeficientes de detalle (ruido de alta frecuencia) y filtrando los coeficientes de escala (para eliminar ruido de baja frecuencia) para su posterior reconstruccion. Ademas, se utilizan filtros espaciales direccionados que permiten aprovechar la estructura morfologica de las regiones de activacion (Seccion 6.2.3), y a partir de los cuales se generan filtros espaciales adaptados. Finalmente, un post-procesado mediante umbralizado fuerte y comparacion de correlacion permite eliminar actividad residual y aislada, de forma previa a la creacion del correspondiente mapa de activacion (Seccion 6.2.5). Como opcion final, se propone la regularizacion de las regiones de activacion y sus respectivas senales temporales. La potencia del metodo propuesto se comprueba a traves de la comparacion con metodos clasicos de analisis (Seccion 6.1) en senales de activacion simulada y reales (Seccion 6.3). El Capitulo 7 contienen las conclusiones obtenidas en la elaboracion de este trabajo, mientras que el Capitulo 8 presenta las futuras lineas de investigacion a seguir en trabajos posteriores.

Fórmulas y algoritmos espectrales para wavelets ortonormales y frames ajustados: aplicaciones en el procesamiento digital de imágen médica