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Let k be a perfect field of characteristic p > 0 . For every smooth k-scheme X , we define a theory of Chem classes and cycle classes with value in thé étale cohorology groups " ( X ^ ,W n ), whBre W ÎT. is thé Rham-Witt œmplex of X of step n and W n^ thé abelian subsheaf of W î2 generated locally for thé étale topology by thé logarithmic differentials. Via thé natural map from ^(X, ,W ^^) to thé crystalline oohcnology group H. (X/W ), we reoover Berthelot-Illusie's Chem classes and thé oohonology class of a anooth closed subscheme oonstructed by Berthelot. Our csonstruction of thé cycle class relies on a purity theorem for thé sheaves W !î^ . We show that proper intersections oorrespond to CLÇ>-products and we prove thé usual œirpatibility between thé Chem class and thé cycle class of a (non necessarily snooth) closed subscheme. Texte reçu le 1 5 avril 1 9 8 5 (*) Thèse de doctorat de 3e cycle de Mathématiques, Université de Paris-Sud, Centre d'Orsay, juin 83. 0037-9484/85 04/1-88 S 10.80 © Gauthicr-Villars TABLE DES MATIERES pages INTRODUCTION•-••••.. 4 NOTATIONS ET CONVENTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . .^ . . . . . . . • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9 I. COHOMOLOGIE DES FIBRES PROJECTIFS. 1. Les faisceaux W^^  W 2Oohomoloqie logarithmique des fibres oroiectifs "12 3. Points fixes par F  15 4. Cohomoloaie de Hodae^Witt des fibres proiectifs 19 5. Comparaison avec la cohomoloaie cristalline 23 II. MORPHISME DE GYSIN. 1. Définition des différents roorphismes de Gvsin 27 1.1. Rappels sur 1'autodualité du complexe de De Rham-Witt. 1.2. Définitions. 2. Propriétés ».. 28 2.1. Transit!vite. 2.2. Formule de projection. 2.3. Transversalité. 2.4. Formule d'intersection. 2.5. Classe de cycle et classe de Chern. 2.6. Cas d'un morphisme P(E) —» X . 2.7. Cas d'un morphisme birationnel. 3. Cas d'une immersion fermée 38 3.1. Préliminaires d'algèbre homologique. 3.2. Construction locale du roorphisme de Gysin. 3.3. Description du roorphisme de Gysin. 3.4. Comparaison avec la définition 1.2.6. 3.5. Cas de la cohomologie logarithmique. 4. Classe de cohomoloqie d'un cycle 50 4.1. Définition. 4.2. Propriétés. 5. Morphisroe de Gvsin et complexe de Cousin 57 5.1. Cas de la cohoroologie de Hodge-Witt. 5.2. Cas de la cohomologie logarithmique. III. CLASSES DE CHERN LOGARITHMIQUES. 1. Classes de Chern l o g a r i t h m i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1 . 1 . Enoncé du théorème principal. 1.2. Démonstration du théorème principal. 2. Variantes et c o m p a t i b i l i t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 . 1 . Comparaison avec les classes de Chern cristallines. 2 . 2 . Cohomologie d'un schéma de drapeaux. Appendice : classes de Chern à s u p p o r t s . . . . . . . . . . . . . . . . 68 IV. APPLICATIONS. 1. Cohomolooie d'un é c l a t é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1 . 1 . Cohomologie de Hôdge-Witt d'un éclaté. 1. 2 . Cohomologie de Hôdge d'un éclaté. 1 . 3 . Cohomologie logarithmique d'un éclaté. 2. Formule de s e l f i n t e r s e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3. Classe de Chern et classe de c y c l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie de Hodge-Witt logarithmique