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We prove that thé number N (A) of eigenvalues less than A of thé image under a unitary irréductible représentation TT of thé sublaplacian A of a stratified niipotent Lie algebra (& vérifies, with a constant C > 1 depending oniy on (S: 1/CNo (À/C) ^ N (À) ^ CNo {C A) where No (A) = p,{l ç. o (7r), |||/||| ^ A }, o (7r) being thé Kirillov orbit of TT, p, thé canonical measure on thé orbit, and 1 1 1 • 1 1 1 homogeneous norm. We aiso obtain an "approximate diagonalization" ofthe image under TT ofan homogeneous operator on (S, and use it to give a proof of conjectures, formulated in thé book of Heiffer and Nourrigat, about limit sets of représentations. Thé tools in thé proof are thé Wick calculus, and a construction of cohérent states associâtes with thé représentation TT. 0. Introduction Les travaux de A. Melin [15] et D. Manchon [13] associent, à toute représentation TT d'un groupe niipotent, un calcul pseudo-différentiel qui fournit l'inverse approché [15], ou les projecteurs spectraux approchés [14], de l'image par TT de certains opérateurs invariants sur le groupe. Une catégorie d'opérateurs reste cependant exclue de ces calculs : il s'agit de l'image d'un opérateur homogène P, invariant à gauche, tel que TT (P) vérifie une «estimation L maximale» sans que P lui-même soit hypoelliptique sur le groupe. Comme le montrent les articles [20] et [2l], ces opérateurs servent pourtant dans la preuve d'estimations sous-elliptiques, et il semble donc utile de construire un calcul qui leur soit applicable. A défaut de pouvoir utiliser facilement un calcul pseudo-différentiel, nous proposons, pour l'étude des opérateurs 7r(P) évoqués ci-dessus, d'adapter le classique «calcul de Wick». Dans le cas du groupe commutatif G == R, notons Yi, • • • , Yn une base de son algèbre de Lie G et, pour tout À > 0, considérons la représentation TT\ de Q dans S (R) définit par : (0.1) ^(^.)=A-^( l ^ j ^n ) . ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. 0012-9593/94/067$ 4.00/© Gauthier-Villars 708 P. LÉVY-BRUHL ET J. NOURRIGAT Le calcul de Wick est très classique dans ce cas. On choisit une fonction ^ e S (R") dont la nonne L est égale, par exemple, à (27^)/, et on pose, pour tout (y, T]} G R : (0.2) VW Çx) = À"/ e ̂ -^ ̂ (A (x y)). Pour simplifier, posons z == (rc, ^), w == (î/, 77), et ck = dxd^. Pour toute fonction / € L (R) et pour tout À > 0, on peut écrire, au sens faible : (0.3) / / (f^^^dz et 11/H =f |(/,^)|^. jR2n JR2rz L'inégalité suivante joue un rôle essentiel : il existe M > 0, indépendant de ^ € R^ et de À > 0, tel que : (0.4) / |(̂ , ̂ x)\dw ^ M, Mz e R, VA > 0. JR2^ Grâce à (0.3), on voit que, si a(^, À) est une fonction mesurable, bornée sur R" x R+, l'opérateur A\ défini par : A\f = \ a{z, À)(/, ^^)^z\dz JR^ est uniformément borné dans ^(R"), La fonction a(z, A) est appelée le «symbole d'anti-Wick» de l'opérateur A\, les fonctions ^zx sont des «paquets d'ondes» [2], ou des « états cohérents » et, pour certains choix particuliers de la fonction ^?, la fonction T f {z, A) = (/, ̂ z\) est liée à la transformée de Bargmann, ou de Fourier-Bros-Iagolnitzer [25], de/. La construction d'états cohérents vérifiant (0.3) et obtenus, à partir d'une seule fonction ^, par une famille d'opérateurs unitaires liés à la représentation étudiée, a été étendue à de nombreuses situations par Perelomov [23], Unterberger (cf. par exemple [26]), et Ali-Antoine-Gazeau [1]. Signalons que la notion d'« états cohérents» diffère de celle des ondelettes, adaptée au cas des groupes niipotents par Lemarié [9]. Dans la section 1, nous montrons que l'existence d'une famille d'éléments (^) dans un espace de Hilbert H, dépendant de manière mesurable d'un paramètre z dans un espace mesuré Z, tels que la norme de ^z soit une constante K > 0 et tels qu'on ait, pour tout / ç jEf, les égalités (0.3), peut avoir des conséquences en théorie spectrale. En effet, si un opérateur autoadjoint positif P de domaine D (P) c H vérifie les inégalités suivantes, pour tout / € D (P) : (0.5) / s(z)\{^ ̂ d(z) ̂ (P/, / )+A| | /H 2 . J z (0.6) W,/)^ / S{z)\{f^^d{z). J z [où s{z) et S(z} sont des fonctions positives mesurables sur Z], et si S (z) est une «fonction poids» au sens suivant : 4 SÉRIE TOME 27 1994 N° 6 REPRÉSENTATIONS DE GROUPES NILPOTENTS 709 '-' /.(s^r'̂ î -. ^ (où A est une constante), alors le nombre N (A) de valeurs propres de P, répétées selon leur multiplicité, qui sont inférieures à À, est encadré par la « formule de Weyl » suivante :

États cohérents, théorie spectrale et représentations de groupes nilpotents