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We construct on every Stein manifold a global kernel which enables us to prove Koppelman and Koppelman-Leray formulas for differential forms of arbitrary type (p, q). Introduction Henkin et Leiterer ont construit dans [2] et ([3], chap. 4) des noyaux globaux sur une variété de Stein grâce auxquels ils démontrent des formules intégrales pour les (0, q)formes différentielles. Dans cet article nous démontrons des formules intégrales du type Koppelman et Koppelman-Leray pour les formes différentielles de type (p, q) quelconque sur une variété de Stein. Celles-ci généralisent à la fois les formules démontrées par Henkin et Leiterer pour les (0, ^-formes différentielles (cf. [2] et [3], chap. 4) et les formules de Koppelman et Koppelman-Leray pour les (p, ^-formes différentielles dans C" (cf. [8], [7] et [1]); elles permettent sous certaines conditions de résoudre des problèmes de 3 avec estimations de croissance ou de régularité. Dans un premier paragraphe nous construisons des noyaux dont nous donnons une expression globale sur la variété de Stein M; ce sont des formes différentielles continues sur M x M privé de sa diagonale. La nécessité d'avoir des formes différentielles invariantes par changement de coordonnées permettant d'obtenir des formules intégrales pour les (p, q)-f ormes différentielles nous a amenés dans le cas p ̂ 1 à introduire la connexion de Chern du fibre tangent. Aux paragraphes 2 et 3 nous nous intéressons principalement à un noyau du type précédent qui généralise le noyau de Bochner-Martinelli. Il en résulte une formule de Koppelman pour les (p, ^-formes différentielles sur une variété de Stein (théorème 2.2), et la transformée de Bochner-Martinelli se généralise également dans ce contexte (théorème 3.1). Le paragraphe 4 est consacré à la démonstration de deux formules de KoppelmanLeray dont on peut déduire des formules de résolution du 8 pour les (p, ^-formes ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. 0012-9593/87/04 579 20/$ 4.00/ © Gauthier-Villars 580 J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT différentielles dans un domaine strictement pseudoconvexe d'une variété de Stein. La première généralise la formule intégrale donnée par Lieb [7] et Ç)vrelid [8] dans C" et la seconde la formule de base de l'article [1] de Andersson et Berndtsson. Le dernier paragraphe donne une méthode, différente de celle utilisée par Henkin et Leiterer ([3], § 4.12), pour obtenir des formules intégrales pour les formes différentielles à valeurs dans un fibre vectoriel holomorphe sur une variété de Stein. 1. Préliminaires Soit X une variété analytique complexe; si u et v sont des n-uplets de fonctions ^ définies sur un ouvert de X x X, on pose n ^z, ç(^)= A < ^j J = l n ^(^^(-ir^A^^ J = l k^j n <M, U > = ^ UjVj J = l [(z, Q désignent les variables dans X x X]. Le noyau de Bochner-Martinelli dans C" x C" est alors donné par les expressions suivantes : v (. n-^-)' ^^-O Aœ^(z-Q -^BM ̂ î )/ — .. .„ \———~\^ (2f7l)" ^-^l ^ (-ir <z-^, < ,(z-p> A «g, ,(z-o, < ,(z-o»"(27i)" |z-Ç|" II permet de démontrer des formules de représentation intégrale pour les formes différentielles de bidegré (p, q) quelconque dans C". Dans [2] et [3], chapitre 4, Henkin et Leiterer construisent des noyaux qui conduisent à la représentation des formes différentielles de bidegré (0, q) dans une variété de Stein. Précisons maintenant la méthode de construction utilisée par Henkin et Leiterer. On considère une variété de Stein M de dimension n dont l'orientation est définie par la condition suivante : si (z^, . . ., z^) sont des coordonnées holomorphes locales, la forme différentielle ( — l ) " r f Z i A . . . A d ^ A d z ^ A . . . Arfz,,^--!)^""^;"^ A dz^ A . . . A dz^ A dz^ est positive. 4 SÉRIE TOME 20 1987 N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 581 On notera T(M) et T*(M) les fibres tangent et cotangent de M et T(MxM), T*(MxM) leurs images réciproques respectives par la projection de M X M sur M,(z,Q^z. Soit 5 : M x M ^ T ( M x M ) la section holomorphe de T(M x M) définie par Henkin et Leiterer ([2] et [3], lemme 4.2.4) qui vérifie : • 5 (z, z) = 0 pour tout z e M • s(z, .) : M ->T^(M) est une application biholomorphe d'un voisinage de z dans M sur un voisinage de 0 dans T^(M). Rappelons brièvement la construction de 5. Soit / : M q, C un plongement propre de M dans C^ et soit 0 -> T(M) -. M x ̂ -> N(M) -> 0 la suite exacte définissant le fibre normal à M, noté N(M). D'après le théorème B de Cartan on a H (M, Hom(N(M), T(M)))==0, donc la suite exacte ci-dessus admet un scindage global g : MxC N -^T(M) tel que g ° df= Idy ̂ y La section s est alors définie par s(z,0=^(z,/(0-/(z)). Grâce au théorème B appliqué sur M x M, on peut d'autre part construire une fonction (p holomorphe sur M x M, égale à 1 sur la diagonale A (M) de M x M et dont la restriction à MxM\A(M) appartient au sous-faisceau de ^P(MxM) engendré par 5. De plus il existe un entier /^O tel que la fonction cp^/l-s^ soit de classe ^ sur MxM\A(M) (cf. [2] et [3], lemme 4.2.4). Si D est un ouvert relativement compact de M dont le bord ÔD est de classe ^ par morceaux, on appellera section de Leray pour (D, s, (p) (cf. [3], § 4.3.2) un couple (s*, 7*) où 7* est un entier et s* une section de T*(MxM) définie sur DxV^, V^ étant un voisinage de <9D dans M, telle que • < 5* (z, Ç), 5 (z, Ç) > ̂ 0 pour z e D, Ç e 8D tels que (p (z, Ç) ̂ 0 « , > désigne le crochet de dualité entre T(M x M) et T* (M x M)). • (p^ (z, Ç)/< * (? O» 5 (» 0 ) ^ de classe V sur un voisinage de D x 3D dans D x M. Si U est un ouvert de carte de M et (^=1 un repère trivialisant holomorphe de T(M x M), nous noterons respectivement u et M* les expressions de s et s* dans ce repère et son dual. Henkin et Leiterer posent alors ^(Cpv, 5*, ̂ (^^^n<^)^^) (2171)" <M*, UY ce qui définit une forme différentielle sur D x 8D. Mais ce noyau ne contient que des termes de bidegré (0, q) en z. Pour passer à la représentation des formes différentielles de type (/?, q) quelconque il convient donc de compléter ce noyau. La première expression du noyau de BochnerMartinelli conduirait à remplacer oî^(u) par œ^ ^(u) dans la définition de ^((p^ s*, s) ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 582 J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT mais cela ne permet plus de définir une forme différentielle invariante par changement de coordonnées car s est une section du fibre vectoriel T(M x M). Nous devons donc, pour obtenir un noyau défini globalement sur DxôD, utiliser une connexion de T(MxM). Soit 6 une métrique hermitienne ^ sur T(M), elle induit une métrique hermitienne, notée encore 0 sur T(M x M) et une application antilinéaire a : T(M x M) -> T* (M x M), Ç^< ., Ç>e. On appellera D la connexion de Chern de T (MxM) relative à 9 et V la connexion de Chern de T* (M x M) associée à la métrique 9* induite par 6 sur T* (M x M). On notera s la section ^°°, M x M ^ T * ( M x M ) définie par 5=0° s, il est facile de voir que (s, 7) est une section de Leray pour (D, 5, (p), D étant n'importe quel ouvert relativement compact à bord ^ par morceaux de M. Remarquons que si 9 est la métrique hermitienne construite par Henkin et Leiterer à l'aide d'une partition de l'unité subordonnée à un recouvrement trivialisant de T(M), alors s coïncide avec la section s qu'ils ont définie dans [2] et [3], §4.3.1. De plus s et s possèdent les mêmes propriétés. On peut alors définir la forme différentielle ^((p^ s*, s) par fi(cp^^^^cp-<* Ds> ̂ ^ >. (27l)" <S*,5>" C'est une forme différentielle continue sur un voisinage de D x 3D dans D x M si (s*, ^*) est une section de Leray associée à (D, s, q>) et v^^*. Si de plus 5*= s, la forme différentielle ^(p", s, s) est de classe ^ sur MxM\A(M) si v^^ et admet une singularité d'ordre 2 n — 1 en z=Ç Étudions l'expression de la forme différentielle ^((p^ 5*, s) dans des coordonnées locales. Soient U un ouvert de carte de M et (^j)}=i un repère trivialisant holomorphe de T(M x M). La métrique 9 est donnée dans ce repère par une matrice hermitienne définie positive H, ^°°, ne dépendant que de la variable z et la métrique induite par 9 sur T*(M x M) est donnée dans le repère dual par la matrice H~. Soient M, M*, u les expressions respectives de s, s* et s dans les repères choisis; alors les expressions de Ds, Vs* et Vs dans ces repères sont données classiquement par riM+OH'^H) A M, du*+(îîôïî~) A M* et du+(îîôïî~) A iî, et par définition de s on a : u = H u. On en déduit que : '̂s*, Ds>= ^ ~Su^ A (d^+aH-^H) A M),) j= i <5*, D5>= ^ ^(^+((H-aH) A t,),). J = l 4 SÉRIE TOME 20 1987 N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 583 Un calcul analogue à celui du lemme 3 de [1] montre que <s*, D5> A^'S*, Ds»"-^-!)^-^-!)!!" ̂ (-l)-^* A ~ëui\ \-j=l k^j J n A A (^((H-^H) AU),). p=l On a donc pour z et Ç dans des compacts <s*, D5> A^-S*, D^r-^C-ir^-^^-!)!^^^) A œ^(M)+0(|u|e)]. Dans le cas particulier où l'on prend comme section s* la section s de [3] et pour 6 la métrique intervenant dans la définition de iFon obtient sur U x V\A(U) Û^\s,s)=K+o(——\-^\ \W-j (si z et Ç varient dans des compacts de M). K étant le noyau défini localement dans [5] et qui est une solution fondamentale locale du 8 ([5], § 2). Remarquons d'autre part que si M=C" et si la métrique 9 est la métrique habituelle de C" alors les connexions D et V coïncident avec la différentielle ordinaire et si on prend : (p(z,Q=l, V C ^ Q e C x C " s(z,Ç)=^-Ç et 5*(z,0=z-Ç le noyau ^((p", 5, s) n'est autre que le noyau de Bochner-Martinelli dans C" x C". 2. Formule de Koppelman pour les (p, ^)-formes différentielles Dans ce paragraphe nous allons étendre au cas des (p, q)-î ormes différentielles, O^/?, q^n la formule de Koppelman donnée dans les variétés de Stein par Henkin et Leiterer pour les (0, <?)-f ormes différentielles ([3], théorème 4.5.2). Considérons le noyau ^((p^ s, s) défini au paragraphe précédent. Remarquons tout d'abord que s étant holomorphe on a Ds=D'5; les connexions D et V sont d'autre part liées par la relation nature

Formules intégrales pour les formes différentielles de type $(p,q)$ dans les variétés de Stein